每日一题[1170]构造图形

已知 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，则关于 $x,y$ 的方程组

$$|x\cos\alpha+y\sin\alpha+1|=|x\cos\beta+y\sin\beta+1|=|x\cos\gamma+y\sin\gamma+1|$$ 的解的组数可能为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$4$

解    答案是 CD．

设直线 $l_1,l_2,l_3$ 分别为

$$\begin{split} l_1&:x\cos\alpha+y\sin\alpha+1=0,\\ l_2&:x\cos\beta+y\sin\beta+1=0,\\ l_3&:x\cos\gamma+y\sin\gamma+1=0,\end{split}$$ 则题意即点 $P(x,y)$ 到三条直线的距离相等．注意到原点 $O$ 到直线 $l_1,l_2,l_3$ 的距离均为 $1$，且 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等，因此 $l_1,l_2,l_3$ 是单位圆的三条不同的切线．

情形一    三条切线两两相交．此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $4$ 个，为这三条切线围成三角形的内心和 $3$ 个旁心．

情形二    三条切线有两条互相平行，另一条与这两条切线相交．此时符合题意的点 $P(x,y)$ 的位置有 $2$ 个． 综上所述，题中方程组的解的组数可能为 $2$ 或 $4$．