每日一题[1138]有效转化问题

已知 $a,b,c$ 为正整数，函数 $f(x)=ax+\dfrac cx$，关于 $x$ 的方程 $f(x)=b$ 在 $(0,1)$ 上有两个实数解，若这样的 $b$ 有且只有 $2$ 个，那么 $a+c$ 的最小值为_______．

正确答案是$7$．

分析与解　由于关于 $x$ 的方程 $f(x)=b$ 在 $(0,1)$ 上有两个实数解，于是 $f(x)$ 的极小值点 $x=\sqrt{\dfrac ca}$ 在 $(0,1)$ 上，于是函数 $f(x)$ 的单调性为 $$\begin{array} {c|ccccc}\hline x&0&\left(0,\sqrt{\dfrac ca}\right)&\sqrt{\dfrac ca}&\left(\sqrt{\dfrac ca},1\right)&1\\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&2\sqrt{ac}&\nearrow&a+c\\ \hline \end{array}$$ 考虑 $a+c$ 是正整数，因此符合题意的 $b$ 必然为 $a+c-1$ 和 $a+c-2$，因此 $$a+c-3\leqslant 2\sqrt{ac}<a+c-2,$$ 即 $$2<a+c-2\sqrt{ac}\leqslant 3,$$ 因此 $$\sqrt 2<\sqrt a-\sqrt c\leqslant \sqrt 3,$$ 于是 $$a>\left(\sqrt 2+\sqrt c\right)^2\geqslant \left(\sqrt 2+1\right)^2>5,$$ 从而 $a\geqslant 6$．又当 $(a,c)=(6,1)$ 时符合题意，因此 $a+c$ 的最小值为 $7$．