每日一题[1137]系数配凑

已知实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+2y^2+3z^2=4,$ 若 $T=xy+yz,$ 则 $T$ 的取值范围是(  )
A.$\left[-\dfrac{\sqrt6}3,\dfrac{\sqrt6}3\right]$
B.$\left[-\dfrac{\sqrt6}6,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$
C.$\left[-\dfrac{\sqrt6}3,\dfrac{\sqrt3}3\right]$
D.$\left[-\dfrac{2\sqrt6}3,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$


cover

 正确答案是D.

分析与解 根据题意,有\[\begin{split} 4&=x^2+2y^2+3z^2\\&=x^2+\lambda y^2 +(2-\lambda)y^2+3z^2\\&\geqslant 2\sqrt{\lambda}|xy|+2\sqrt{3(2-\lambda)}|yz|,\end{split}\]令\[2\sqrt{\lambda}=2\sqrt{3(2-\lambda)},\]解得\[\lambda=\dfrac 32,\]于是可得\[4\geqslant \sqrt 6\left(|xy|+|yz|\right).\]因此当 $x,y,z$ 同号时,$T$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 6}3$;当 $x,z$ 同号且与 $y$ 异号时,$T$ 取得最小值 $-\dfrac{2\sqrt 6}3$.结合连续性可知 $T$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{2\sqrt6}3,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论