每日一题[1100]端点分析

已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-\dfrac{ax}{1-x}$，其中 $a$ 是实数．
（1）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $-1<x<1$ 时，均有 $f(x)\leqslant 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

分析与解　（1）函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{x^2-(a+2)x+1-a}{(x-1)^2(x+1)},$$ 当 $a=1$ 时，有 $$f'(x)=\dfrac{x(x-3)}{(x-1)^2(x+1)},$$ 于是 $$\begin{array} {c|cccccc}\hline x&(-1,0)&0&(0,1)&(1,3)&3&(3,+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow&\searrow&{\rm lmin}&\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-1,0)$ 和 $(3,+\infty)$；单调递减区间是 $(0,1)$ 和 $(1,3)$．
（2）端点分析，有 $$\begin{array}{c|ccc}\hline &x\to -1& x=0& x\to 1-\\ \hline f(x)& -\infty&0&-\infty(a>0)\\ \hline x^2-(a+2)x+1-a & 4 &1-a & -2a \\ \hline \end{array}$$ 于是讨论分界点为 $a=0,1$．
情形一　$a\leqslant 0$．此时 $$f\left(\dfrac 12\right)=\ln\dfrac 32-a>0,$$ 不符合题意．
情形二　$0<a<1$．此时记关于 $x$ 的方程 $$x^2-(a+2)x+1-a=0$$ 的两个零点分别为 $x_1,x_2$ 且 $$0<x_1<1<x_2.$$ 在区间 $(0,x_1)$ 上，有 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，结合 $f(0)=0$ 可知不符合题意．
情形三　$a=1$．此时在区间 $(-1,0)$ 上 $f'(x)>0$，在区间 $(0,1)$ 上 $f'(x)<0$，因此在区间 $(-1,1)$ 上有 $$f(x)\leqslant f(0)=0,$$ 符合题意．
情形四　$a>1$．此时记关于 $x$ 的方程 $$x^2-(a+2)x+1-a=0$$ 的两个零点分别为 $x_3,x_3$ 且 $$-1<x_3<0<1<x_4.$$ 在区间 $(x_3,0)$ 上，有 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，结合 $f(0)=0$ 可知不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{1\}$．