每日一题[1089]函数方程

已知 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，且 $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy$，求所有满足条件的函数 $f(x)$．

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分析与解　设题中等式为

$${\rm eq1}:f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy.$$

在 ${\rm eq1}$ 中 $y\to 0$ 可得

$${\rm eq2}:f(f(x))=f(x)+f(0)\cdot f(x),$$ 在 ${\rm eq2}$ 中 $x\to x+y$ 可得 $${\rm eq3}:f(f(x+y))=f(x+y)+f(0)\cdot f(x+y),$$ 根据 ${\rm eq1}$ 和 ${\rm eq3}$ 可得 $${\rm eq4}:f(0)\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(y)-xy,$$ 在 ${\rm eq4}$ 中分别取 $y\to 1$ 和 $x\to x+1,y\to -1$，可得 $$\begin{split} {\rm eq5}&:f(0)\cdot f(x+1)=f(1)\cdot f(x)-x,\\{\rm eq6}&:f(0)\cdot f(x)=f(-1)\cdot f(x+1)+(x+1),\end{split}$$ 可解得 $${\rm eq7}:\left(f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)\right)\cdot f(x)=\left(f(0)-f(-1)\right)\cdot x+f(0).$$ 在 ${\rm eq5}$ 中取 $x\to -1$，可得 $$f^2(0)=f(1)\cdot f(-1)+1,$$ 于是 $$f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)=1.$$ 因此由 ${\rm eq7}$ 可得 $$f(x)=ax+b,$$ 代入 ${\rm eq2}$ 中可得 $$a(ax+b)+b=ax+b+b\cdot (ax+b),$$ 于是 $$\begin{cases} a^2=a+ab,\\ab+b=b+b^2,\end{cases}$$ 解得 $(a,b)=(0,0)$（舍去）或 $(a,b)=(1,0)$，因此 $f(x)=x$．

经检验，$f(x)=x$ 符合题意．因此所有满足条件的函数为 $f(x)=x$．