每日一题[1067]互不相让

已知实数 $a,b,c$ 满足不等式 $|a|\geqslant |b+c|$，$|b|\geqslant |c+a|$，$|c|\geqslant |a+b|$，求证：$a+b+c=0$．

分析与证明　法一　设 $a+b+c=m$，则 $$|a|\geqslant |m-a|,$$ 于是 $$a^2\geqslant m^2-2ma+a^2,$$ 即 $$m(2a-m)\geqslant 0,$$ 类似的，有 $$m(2b-m)\geqslant 0,m(2c-m)\geqslant 0,$$ 三式相加可得 $$m[(2a-m)+(2b-m)+(2c-m)]\geqslant 0,$$ 即 $$-m^2\geqslant 0,$$ 于是 $m=0$，原命题得证．

法二　考虑到问题的对称性，不妨设 $a,b,c$ 中非负数较多．

情形一　 $a,b,c$ 中有 $3$ 个非负数，则 $a+b+c\geqslant 0$，且根据题意，有 $$a+b+c\geqslant (b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c),$$ 于是 $a+b+c=0$．

情形二　 $a,b,c$ 中有 $2$ 个非负数，不妨设为 $a,b$，则此时第三个不等式即 $$a+b+c\leqslant 0,$$ 于是 $$b+c\leqslant -a\leqslant 0,$$ 因此由第一个不等式可得 $$a\geqslant -(b+c),$$ 即 $$a+b+c\geqslant 0,$$ 所以 $a+b+c=0$．

综上所述，原命题得证．