每日一题[1055]一题多解求值域

函数 \(y=x+\sqrt{x^2-2x+3}\) 的值域是_______．

正确答案是\((1,+\infty)\)．

分析与解    法一

函数的定义域为 \(\mathbb R\)，记 \(y=f(x)\) ，则有\[f(x)=x+\sqrt{(x-1)^2+2},\]于是当 \(x\geqslant 1\) 时，函数 \(f(x)\) 单调递增；当 \(x<1\) 时，有\[f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{(x-1)^2+2}-(x-1)}+1,\]于是 \(f(x)\) 亦单调递增．考虑到当 \(x\to-\infty\) 时，\(f(x)\to 1\)，于是所求值域为 \((1,+\infty)\)．

法二

令 \(x-1=\sqrt 2\tan \theta\)，其中 \(\theta\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)\)，则\[\begin{split}y=&\sqrt 2\tan\theta+1+\sqrt 2\cdot \dfrac{1}{\cos\theta}\\=&\sqrt 2\cdot \dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}+1\\=&\tan\left(\dfrac{\theta}2+\dfrac{\pi}4\right)+1,\end{split}\]进而可得所求值域为 \((1,+\infty)\)．

法三

函数 \(y=f(x)\) 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(x-1)+\sqrt{(x-1)^2+2}}{\sqrt{x^2-2x+3}}>0,\]于是函数 \(f(x)\) 在定义域 \(\mathbb R\) 上单调递增．考虑到当 \(x\to-\infty\) 时，\(f(x)\to 1\)，于是所求值域为 \((1,+\infty)\)．

法四

根据题意，有\[(y-x)^2=x^2-2x+3,y\geqslant x,\]于是 \(x=\dfrac{y^2-3}{2y-2}\)，进而\[y\geqslant \dfrac{y^2-3}{2y-2},\]解得 \(y>1\)，于是所求值域为 \((1,+\infty)\)．