每日一题[1019]复合函数的零点

已知函数$g(x)={\log_2}x,x\in(0,2)$，若关于$x$的方程$|g(x)|^2+m|g(x)|+2m+3=0$有三个不同的实数解，则实数$m$的取值范围是_______．

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本题来自尬题7，正确答案是$\left(-\dfrac 32,-\dfrac 43\right]$．

分析与解　考虑关于$t$的方程

$$t^2+mt+2m+3=0$$ 和$t=\left|{\log_2}x\right|$．当零点$t_0$位于不同区间时，对应的$x_0$的个数如下表 $$\begin{matrix} t_0 & (-\infty,0) & 0 & (0,1) & 1& (1,+\infty)\\  x_0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1\\\end{matrix}$$ 根据题意，必然有一个$t_1$位于区间$(0,1)$，考虑$t_2$．

情形一　$t_2=0$，此时$m=-\dfrac 32$，不符合题意．

情形二　$t_2=1$，此时$m=-\dfrac 43$，符合题意．

情形三　$t_2> 1$，此时

$$\begin{cases}\left.\left(t^2+mt+2m+3\right)\right|_{t=0}>0,\\\left.\left(t^2+mt+2m+3\right)\right|_{t=1}<0,\end{cases}$$ 解得$-\dfrac 32<m<-\dfrac 43$．

综上所述，$m$的取值范围是$\left(-\dfrac 32,-\dfrac 43\right]$．

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下面给出一道练习：

已知关于 $x$ 的方程 ${x^2} - 6x + \left( {a - 2} \right)\left| {x - 3} \right| + 9 - 2a = 0$ 有两个不同的实数根，则系数 $a$ 的取值范围是_______．

解　因为

$${x^2} - 6x + \left( {a - 2} \right)\left| {x - 3} \right| + 9 - 2a = 0,$$ 即 $${\left( {x - 3} \right)^2} + \left( {a - 2} \right)\left| {x - 3} \right| - 2a = 0.$$ 于是 $|x-3|=2$ 或 $|x-3|=-a$ 共有两个不同的实数根，所以 $a>0$ 或 $a=-2$．