每日一题[106]几何极值的调整法

已知直线过点$M(2,1)$且与$x$、$y$轴正半轴分别交于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点．求： （1）三角形$AOB$面积的最小值； （2）三角形$AOB$周长的最小值．

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三角方法

（1）设$\angle BAO=x$，则

$$\begin{split}S_{\triangle AOB}&=\dfrac 12OA\cdot OB\\&=\dfrac 12\left(2+\dfrac{1}{\tan x}\right)\left(1+2\tan x\right)\\&=2+2\tan x+\dfrac{1}{2\tan x}\\&\geqslant 4,\end{split}$$ 等号当且仅当$\tan x=\dfrac 12$时取得．

（2）设$\angle BAO=x$，则

$$c_{\triangle AOB}=3+\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{2}{\cos x}+\dfrac{1}{\tan x}+2\tan x,$$ 令$\tan\dfrac{x}{2}=t$，$t\in (0,1)$，则 $$\begin{split}c_{\triangle AOB}&=3+\dfrac{1+t^2}{2t}+\dfrac{2\left(1+t^2\right)}{1-t^2}+\dfrac{1-t^2}{2t}+\dfrac{4t}{1-t^2}\\&=1+\dfrac{1}{t}+\dfrac{4}{1-t}\\&\geqslant 10,\end{split}$$ 这里用到了柯西不等式，取得等号的条件是$t=\dfrac{1}{3}$．

代数方法

设直线的横截距和纵截距分别为$\dfrac 1a$和$\dfrac 1b$，则$2a+b=1$($a,b>0$)．

（1）由于

$$1=2a+b\geqslant 2\sqrt{2ab},$$ 于是三角形$AOB$的面积$\dfrac{1}{2ab}$的最小值为$4$．

（2）三角形$AOB$的周长为

$$\begin{split} \dfrac 1a+\dfrac 1b+\sqrt{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}}&=\dfrac{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}{ab}\\&=\dfrac{2}{a+b-\sqrt{a^2+b^2}},\end{split}$$ 而 $$(3a+4b)^2\leqslant 25(a^2+b^2),$$ 于是 $$\sqrt{a^2+b^2}\geqslant \dfrac 35a+\dfrac 45b,$$ 因此 $$a+b-\sqrt{a^2+b^2}\leqslant \dfrac{2a+b}{5}=\dfrac 15,$$ 从而三角形$AOB$的周长 $$\dfrac{2}{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}\geqslant 10,$$ 等号当且仅当$\dfrac{a}{b}=\dfrac 34$时取得．

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调整法

（1）如图，设直线在第一象限内的线段被$M$平分时与$x$轴、$y$轴的交点分别为$P$、$Q$．接下来证明此时三角形$AOB$的面积最小． 若不然，假设$AM<BM$，则

$$\begin{split}S_{\triangle AOB}&=S_{\triangle POQ}-S_{\triangle MAP}+S_{\triangle MBQ}\\&=S_{\triangle POQ}-\dfrac{1}{2} MP\cdot \left(AM-BM\right)\cdot\sin\angle AMP\\&>S_{\triangle POQ},\end{split}$$ 因此当$M$平分$AB$时，三角形$AOB$的面积最小，最小值为$4$．

（2）过$M$作圆$E$与$x$轴、$y$轴均相切，作圆$E$在$M$处的切线，此时三角形$AOB$的周长最小，如图． 若不然，$AB$为圆$E$的割线，此时可以作与该割线平行的切线，则显然有三角形$AOB$的周长大于切线与两坐标轴围成的三角形的周长（大小为$OP+OQ$），如图． 经计算可得圆$E:(x-5)^2+(y-5)^2=25$，$OP+OQ=10$，于是三角形$AOB$周长的最小值为$10$．