每日一题[996]投影长度

证明：棱长为$1$的正四面体的棱在任一平面上的投影长度的平方之和为定值．

分析与证明　先证明

引理　已知非零空间向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$两两垂直，$\overrightarrow m$为空间任意非零向量且与$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$的夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma $，则\[\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =1.\]
证明　不妨设$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow m$均为单位向量，且$\overrightarrow m=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$，则\[\cos \alpha=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow m=\overrightarrow a\cdot \left(x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c\right)=x,\]类似的，有$\cos\beta=y$，$\cos\gamma =z$，于是\[\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=x^2+y^2+z^2=\left|\overrightarrow m\right|^2=1,\]引理得证．

将正四面体$OABC$放入棱长为$\dfrac{\sqrt 2}2$的正方体$OGAF-EBHC$中研究，如图．
记$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow {OF}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow c$，$\overrightarrow m$为投影面的单位法向量，且与$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$的夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma $，则所求棱的投影长度的平方和\[\begin{split}M&=\sum_{cyc}\left(OA^2-\left(\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow m\right)^2\right)+\sum_{cyc}\left(AB^2-\left(\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow m\right)^2\right)\\&=6-\sum_{cyc}\left(\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)\cdot \overrightarrow m\right)^2-\sum_{cyc}\left(\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow m\right)^2\\&=6-\sum_{cyc}\left(\dfrac{\sqrt 2}2\cos\beta+\dfrac{\sqrt 2}2\cos\gamma\right)^2-\sum_{cyc}\left(\dfrac{\sqrt 2}2\cos\alpha-\dfrac{\sqrt 2}2\cos\beta\right)^2\\&=6-\sum_{cyc}\cos^2\alpha-\sum_{cyc}\cos^2\beta\\&=4,\end{split}\]为定值，因此原命题得证．