求函数\(f(x)=\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x,x\in\mathcal R\)的值域．
正确的答案是\(\left[-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},\dfrac{38}{25}\right]\)．
考虑引入参数使用拉格朗日配方法，有
\[\begin{split}f(x)&=\lambda\sin^2x+\sin x\cos x+\sin x+\lambda\cos^2x+\dfrac 25\cos x-\lambda\\&=\lambda\left(\sin x+\dfrac{\cos x+1}{2\lambda}\right)^2+\dfrac{4\lambda^2-1}{4\lambda}\left(\cos x+\dfrac{4\lambda-5}{20\lambda^2-5}\right)^2-\dfrac{100\lambda^3+4\lambda-10}{100\lambda^2-25}.\end{split}\]考虑到取等条件\[\begin{split}\cos x&=\dfrac{5-4\lambda}{20\lambda^2-5},\\\sin x&=-\dfrac{\cos x+1}{2\lambda}=\dfrac{2-10\lambda}{20\lambda^2-5},\end{split}\]有\[\left(\dfrac{5-4\lambda}{20\lambda^2-5}\right)^2+\left(\dfrac{2-10\lambda}{20\lambda^2-5}\right)^2=1,\]整理得\[100\lambda^4-79\lambda^2+20\lambda-1=0,\]解得\[\lambda=-1,\dfrac 15,\dfrac{4-\sqrt{11}}{10},\dfrac{4+\sqrt{11}}{10}.\]
考虑到当两个完全平方式前的系数同号时配方才有意义，有\[\lambda\cdot\dfrac{4\lambda^2-1}{4\lambda}>0,\]即\[\lambda<-\dfrac 12\lor \lambda>\dfrac 12,\]因此分别取\[\lambda=-1,\lambda=\dfrac{4+\sqrt{11}}{10},\]有\[\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x=-1\left(\sin x -\dfrac 12\cos x-\dfrac 12\right)^2-\dfrac 34\left(\cos x-\dfrac 35\right)^2+\dfrac{38}{25},\]以及\[\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x=\dfrac{4+\sqrt{11}}{10}\left(\sin x +(4-\sqrt{11})\cos x+(4-\sqrt{11})\right)^2+\dfrac{-8+3\sqrt{11}}{5}\left(\cos x+\dfrac{3-2\sqrt{11}}{10}\right)^2-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},\]于是可得\(f(x)\)的最大值和最小值分别为\(\dfrac{38}{25}\)以及\(-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100}\)．
考虑到函数的连续性，可得所求函数的值域为\(\left[-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},\dfrac{38}{25}\right]\)，如图．
2016年5月30日补充，山大附中王永喜给出：
推广1 设$p,q$是给定的正整数，且$(p,q)=1$，$p>q$，则有$$\sin x\cos x+\sin x+\dfrac{p^3-3pq^2}{q(p^2+q^2)}\cos x\leqslant \dfrac{p(p^4+3q^4)}{q(p^2+q^2)^2}.$$
推广2 设$m$是正整数，且$x$为锐角，则有$$\sin x\cos x+\sin x-\dfrac{(m+1)(2m^2-2m-1)}{m(2m^2+2m+1)}\cos x\leqslant \dfrac{(m+1)(4m^4+4m^3+6m^2+4m+1)}{m(2m^2+2m+1)^2}.$$