每日一题[916]离散型随机变量的期望

若离散型随机变量$X,Y$满足$2\leqslant X\leqslant 3$，且$XY=1$，则$E(X)E(Y)$的取值范围为_______．

正确答案是$\left[1,\dfrac{25}{24}\right]$．

分析与解　不影响问题的本质，考虑随机变量$X$的取值为有限个的情形．设随机变量$X$的分布列为 $$\begin{matrix}X&x_1&x_2&\cdots &x_n \\P(X)& p_1 &p_2 &\cdots &p_n\end{matrix}$$ 其中$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$且$p_1,p_2,\cdots,p_n>0$．那么有 $$\begin{split}E(X)E(Y)&=\left(p_1x_1+p_2x_2+\cdots p_nx_n\right)\left(p_1x_1^{-1}+p_2x_2^{-1}+\cdots+p_nx_n^{-1}\right)\\&\geqslant \left({x}_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}\right)\left(x_1^{-p_1}x_2^{-p_2}\cdots x_n^{-p_n}\right)\\&=1,\end{split}$$ 等号当$x_1=x_2=\cdots=x_n$时取得，因此$E(X)E(Y)$的最小值为$1$．

考虑函数$f(x_i)=E(X)E(Y)$($i=1,2,\cdots,n$)的单调性，可得当$x_i\in\{2,3\}$时$E(X)E(Y)$取得最大值．这是由于$a,b,p>0$时，有 $$\left(px+a\right)\left(\dfrac px+b\right)=pbx+\dfrac {pa}x+p^2+ab,$$ 而对勾函数$y=pbx+\dfrac {pa}x$在限制区间上的最大值必然在区间端点处取得．假设随机变量$X$中取值$2,3$对应的概率分别为$p,q$，其中$p+q=1$且$p,q>0$，那么 $$\begin{split}E(X)E(Y)&=(2p+3q)\left(\dfrac p2+\dfrac q3\right)\\&=\dfrac{p^2+q^2+\dfrac{13}6pq}{p^2+q^2+2pq}\\&=1+\dfrac{\dfrac 16}{\dfrac pq+\dfrac qp+2}\\&\leqslant 1+\dfrac{\dfrac 16}{2+2}\\&=\dfrac{25}{24},\end{split}$$ 等号当$p=q$时取得，因此$E(X)E(Y)$的最大值为$\dfrac{25}{24}$．

综上所述，考虑到连续性，$E(X)E(Y)$的取值范围为$\left[1,\dfrac{25}{24}\right]$．

注　此题即康托洛维奇不等式，设$p_i>0$，$i=1,2,\cdots,n$且$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$，又$0<a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$，则 $$\sum_{i=1}^n\left(p_ia_i\right)\cdot \sum_{i=1}^n\dfrac{p_i}{a_i}\leqslant \dfrac{(a_1+a_n)^2}{4a_1a_n}.$$