每日一题[895]合理表达条件

在直角坐标系中，椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，其中$F_2$也是抛物线$C_2:y^2=4x$的焦点，点$P$为$C_1$与$C_2$在第一象限的交点，且$\left|PF_2\right|=\dfrac 53$．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 过$F_2$且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于$M,N$两点，线段$OF_2$上存在点$T(t,0)$使得以$TM,TN$为邻边的四边形是菱形，求$t$的取值范围．

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正确答案是 (1) $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$；(2) $\left(0,\dfrac 14\right)$．

分析与解　(2)根据题意，$T$点横坐标$t$为线段$MN$的垂直平分线的横截距，设直线$MN$的中点为$P(m,n)$，则

$$\begin{cases}\dfrac nm\cdot \dfrac{n}{m-1}=-\dfrac 34,\\\dfrac{n}{m-t}\cdot \dfrac{n}{m-1}=-1,\end{cases}$$ 解得$m=4t$，$n^2=-12t^2+3t$．于是 $$\begin{cases}n^2=-12t^2+3t>0,\\\dfrac{m^2}4+\dfrac{n^2}3<1,\\ 0\leqslant t\leqslant 1,\end{cases}$$ 解得$t$的取值范围是$\left(0,\dfrac 14\right)$．