每日一题[803]游刃有余

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，点$P(x_0,y_0)$是椭圆$E$内部一点，过$P$作直线$l$与椭圆$E$交于$A,B$两点，设椭圆$E$在$A,B$处的切线交于点$Q$，求$Q$点的轨迹方程，并求$\triangle QAB$面积的最小值．

分析与解　设$Q(m,n)$，则直线\[AB:\dfrac{mx}{a^2}+\dfrac{ny}{b^2}=1,\]因此\[\dfrac{mx_0}{a^2}+\dfrac{ny_0}{b^2}=1.\]这样我们就得到了点$Q$的轨迹为直线$l:\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$．

作仿射变换$x'=x$，$y'=\dfrac aby$，则椭圆$E$变为圆$E':x'^2+y'^2=a^2$，此时$P'\left(x_0,\dfrac aby_0\right)$，$Q'$点的轨迹变为直线$l':x_0x'+\dfrac aby_0y'=a^2$，且有\[S_{\triangle Q'A'B'}=\dfrac abS_{\triangle QAB}.\]设$Q'$到圆$E'$的圆心$O'$的距离为$d$，则\[S_{\triangle Q'A'B'}=\dfrac 12\sin\left(2\angle A'Q'O'\right)\cdot |Q'A'|^2=\dfrac{a\cdot \sqrt{d^2-a^2}}{d^2}\cdot \left(d^2-a^2\right)=a\cdot \sqrt{1-\dfrac{a^2}{d^2}}\cdot \left(d-\dfrac{a^2}{d}\right),\]这个关于$d$的函数单调递增，于是当$d$取最小值$\dfrac{a^2}{\sqrt{x_0^2+\dfrac {a^2}{b^2}y_0^2}}$时，$\triangle Q'A'B'$的面积取得最小值，对应的$\triangle QAB$面积的最小值为\[\dfrac ba\cdot \sqrt{\dfrac{\left(a^2-x_0^2-\dfrac {a^2}{b^2}y_0^2\right)^3}{x_0^2+\dfrac{a^2}{b^2}y_0^2}}=ab\sqrt{\dfrac{(1-\kappa)^3}{\kappa}},\]其中$\kappa=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}$．