每日一题[728]极值的范围估计

已知函数$f(x)=x^2-2x+1+a\ln x$有两个极值点$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$，则(　　)
A．$f(x_2)<-\dfrac{1+2\ln 2}4$
B．$f(x_2)<\dfrac{1-2\ln 2}4$
C．$f(x_2)>\dfrac{1+2\ln 2}4$
D．$f(x_2)>\dfrac{1-2\ln 2}4$

分析与解　D．

函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=\dfrac{2x^2-2x+a}{x},$$ 根据题意，可得当$a<\dfrac 12$时，函数$f(x)$有两个极值点，且$x_1<\dfrac 12<x_2$，$x_2$的取值范围是$\left(\dfrac 12,1\right)$．进而可得极大值 $$M=f(x_2)=x_2^2-2x_2+1+\left(2x_2-2x_2^2\right)\ln x_2,$$ 令$g(t)=t^2-2t+1+(2t-2t^2)\ln t,t\in\left[\dfrac 12,1\right]$，则 $$g'(t)=2(1-2t)\ln t\geqslant 0,$$ 所以$g(t)$在$\left[\dfrac 12,1\right]$上单调递增，从而有 $$g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac {1-2\ln 2}{4}\leqslant g(t)\leqslant g(1)=0.$$ 因为$x_2>\dfrac 12$，所以$f(x_2)>\dfrac {1-2\ln 2}{4}$．