每日一题[706]新性质探索——E数列

（2011年北京卷）若数列$A_n:a_1,a_2,\cdots ,a_n$($n\geqslant 2$)满足$\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$($k=1,2,\cdots ,n-1$)，则称$A_n$为$E$数列．记$S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$．
(1) 写出一个满足$a_1=a_5=0$，且$S(A_3)>0$的$E$数列$A_5$；
(2) 若$a_1=12$，$n=2000$，证明：$E$数列$A_n$是递增数列的充要条件是$a_n=2011$；
(3) 对任意给定的整数$n$($n\geqslant 2$)，是否存在首项为$0$的$E$数列$A_n$，使得$S(A_n)=0$．如果存在，写出一个满足条件的$E$数列$A_n$；如果不存在，说明理由．

分析与解　(1) $0,1,2,1,0$；

(2) 由于$\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1$，于是$a_{k+1}-a_k\leqslant 1$，等号取得的条件是$a_{k+1}>a_k$，其中$k=1,2,\cdots ,n$．累加可得 $$a_{2000}-a_1\leqslant 1999,$$ 等号当且仅当 $$a_{2000}>a_{1999}>a_{1998}>\cdots >a_1$$ 时取得，因此原命题得证．

(3) 显然当$i$是奇数时，$a_i$是偶数；当$i$是偶数时，$a_i$是奇数，其中$i=1,2,\cdots ,n$．因此若$S\left(A_n\right)=0$，则$n\equiv 0,1\pmod{4}$，否则$S\left(A_n\right)$为奇数．当$n\equiv 0\pmod{4}$时，满足条件的一个$A_n$是 $$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1};$$ 当$n\equiv 1\pmod{4}$时，满足条件的一个$A_n$是 $$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0;$$ 当$n\equiv 2,3\pmod{4}$时，不存在满足条件的$E$数列$A_n$．