每日一题[701]数列求和的放缩

（2012年四川卷）已知$a$为正实数，$n$为自然数，抛物线$y=-x^2+\dfrac{a^n}2$与$x$轴正半轴相交于点$A$．设$f(n)$为该抛物线在点$A$处的切线在$y$轴上的截距．
(1) 用$a$和$n$表示$f(n)$；
(2) 求对所有$n$都有$\dfrac{f(n)-1}{f(n)+1}\geqslant \dfrac{n^3}{n^3+1}$成立的$a$的最小值；
(3) 当$0<a<1$时，比较$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)-f(2k)}$与$\dfrac{27}4\cdot \dfrac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$的大小，并说明理由．

分析与解　(1) 根据题意$A\left(\sqrt{\dfrac{a^n}2},0\right)$，于是切线方程为$y=-\sqrt{2a^n}\cdot x+a^n$，于是$f(n)=a^n$；

(2) $n=0$时，不等式成立；$n>0$时，根据题意，有 $$\forall n\in\mathcal N^*,a^n\geqslant 2n^3+1.$$ 当$n=1,2$时，可得$a\geqslant \sqrt{17}$．
而当$a\geqslant \sqrt{17}$且$n\geqslant 3$时，可得 $$a^n\geqslant \left(\sqrt {17}\right)^n>(3+1)^n>3^n+n\cdot 3^{n-1}+1>2\cdot 3^n+1.$$ 下面证明$3^n\geqslant n^3$：

因为函数$f(x)=\dfrac {\ln x}{x}$在$(\rm{e},+\infty)$上单调递减，于是$\dfrac {\ln n}{n}\leqslant \dfrac {\ln 3}{3}$，从而有$3^n\geqslant n^3$，题中不等式成立．
因此使得不等式成立的$a$的最小值为$\sqrt{17}$．

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)-f(2k)}>\dfrac{27}4\cdot \dfrac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$，证明如下．

根据题意，有 $$LHS=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a^k-a^{2k}},$$ 而 $$RHS=\dfrac {27}4\cdot \dfrac{a-a^n}{1-a}=\dfrac{27}{4}\sum_{k=1}^{n-1}a^k<\dfrac{27}{4}\sum_{k=1}^{n}a^k.$$ 接下来只需要证明 $$\dfrac{1}{x-x^2}\geqslant \dfrac{27}4x,0<x<1.$$ 事实上，由于当$x\in (0,1)$时 $$2x\cdot \left(x-x^2\right)=x\cdot x\cdot (2-2x)\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27},$$ 因此上述不等式成立，命题得证．