每日一题[669]函数的对称性与最值

若函数$f(x)=x^4+2x^3+4x^2+cx$的图象关于直线$x=m$对称，则$f(x)$的最小值是______．

分析与解　$-\dfrac{11}{16}$．

根据题意，函数$f(x+m)$为偶函数．而 $$\begin{split} f(x+m)&=(x+m)^4+2(x+m)^3+4(x+m)^2+c(x+m)\\&=x^4+\left(4m+2\right)x^3+\left(6m^2+6m+4\right)x^2+\\&\qquad \qquad\left(4m^3+6m^2+8m+c\right)x+m^4+2m^3+4m^2+cm,\end{split}$$ 于是 $$\begin{cases} 4m+2=0,\\ 4m^3+6m^2+8m+c=0,\end{cases}$$ 解得$m=-\dfrac 12$，$c=3$．于是 $$f\left(x-\dfrac 12\right )=x^4+\dfrac 52x^2-\dfrac{11}{16},$$ 其最小值为$-\dfrac{11}{16}$，当$x=0$时取得．因此$f(x)$的最小值为$-\dfrac{11}{16}$．

另法　考虑$f(x)$的一阶导数与二阶导数： $$f'(x)=4x^3+6x^2+8x+c,f''(x)=12x^2+12x+8,$$ 所以$x=m$就是$f''(x)$的对称轴$x=-\dfrac 12$，即$m=-\dfrac 12$．
从而有$f(0)=0=f(-1)=1-2+4-c$，解得$c=3$．于是 $$f'(x)=4x^3+6x^2+8x+3=(2x+1)(2x^2+4x+3)$$ 有唯一零点$x=-\dfrac 12$，所以$f(x)$的最小值只能在$x=-\dfrac 12$处取到，有 $$f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 1{16}-\dfrac 14+1-\dfrac 32=-\dfrac {11}{16}.$$