已知单位向量→a,→b,→c,→x，且→a+→b+→c=→0，设y=|→a−→x|+|→b−→x|+|→c−→x|，则y的最大值是______．
分析与解 法一 根据题意，有→a=−(→b+→c)，于是可得→a2=(→b+→c)2,因此→b⋅→c=−12，类似的，可得→a⋅→b=→b⋅→c=→c⋅→a=−12.因此→a,→b,→c是共面向量，且两两的夹角均为120∘．设→d是与→a,→b,→c均垂直的单位向量，且→x=λ→a+μ→b+δ→d,则→x2=λ2+μ2+δ2−λμ=1.此时y=|(λ−1)→a+μ→b+δ→d|+|λ→a+(μ−1)→b+δ→d|+|(λ+1)→a+(μ+1)→b+δ→d|=√(λ−1)2+μ2+δ2−(λ−1)μ+√λ2+(μ−1)2+δ2−λ(μ−1)+√(λ+1)2+(μ+1)2+δ2−(λ+1)(μ+1)=√2−2λ+μ+√2+λ−2μ+√λ+μ+2⩽√3⋅√(2−2λ+μ)+(2+λ−2μ)+(λ+μ+2)=3√2,等号当λ=μ=0时取得．因此所求的最大值为3√2．
法二 由柯西不等式，有y=|→a−→x|+|→b−→x|+|→c−→x|⩽√3⋅√(→a−→x)2+(→b−→x)2+(→c−→x)2=√3⋅√→a2+→b2+→c2+3→x2−2→x⋅(→a+→b+→c)=3√2,等号当|→a−→x|=|→b−→x|=|→c−→x|时取得．事实上，有→a=−(→b+→c)，于是可得→a2=(→b+→c)2,因此→b⋅→c=−12，类似的，可得→a⋅→b=→b⋅→c=→c⋅→a=−12.因此→a,→b,→c是共面向量，且两两的夹角均为120∘．进而取→x与→a,→b,→c均垂直，即可取得等号．因此所求的最大值为3√2．
注 如果限定所有向量为平面向量，也可对应的两种方法：
法一 此时δ=0，于是→x2=λ2+μ2−λμ=1,且y=√2−2λ+μ+√2+λ−2μ+√λ+μ+2．不妨设λ,μ⩾0，则不难证明√2−2λ+μ+√2+λ−2μ⩽2,√λ+μ+2⩽2,等号当λ=μ=1时同时取得，因此此时所求的最大值为4．
注 事实上，有√2−2λ+μ+√2+λ−2μ=√λ+μ+2.
法二 设→a=→OA，→b=→OB，→c=→OC，→x=→OP，且不妨设P落在劣弧BC上(包括端点)，那么y=|PA|+|PB|+|PC|=2|PA|⩽4,等号当PA为△ABC外接圆的直径，即→x=−→a时取得．因此所求的最大值为4．
注 事实上，有|PB|+|PC|=|PA|，由托勒密定理或者平面几何的知识可以证明．