每日一题[657]空间平面大不同

已知单位向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow x$,且$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$,设$y=\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow x\Big|+\Big|\overrightarrow b-\overrightarrow x\Big|+\Big|\overrightarrow c-\overrightarrow x\Big|$,则$y$的最大值是______.


cover分析与解 法一 根据题意,有$\overrightarrow a=-\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)$,于是可得$$\overrightarrow a^2=\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)^2,$$因此$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=-\dfrac 12$,类似的,可得$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=-\dfrac 12.$$因此$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$是共面向量,且两两的夹角均为$120^\circ$.设$\overrightarrow d$是与$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$均垂直的单位向量,且$$\overrightarrow x=\lambda \overrightarrow a+\mu \overrightarrow b+\delta \overrightarrow d,$$则$$\overrightarrow x^2=\lambda ^2+\mu^2+\delta^2-\lambda\mu=1.$$此时\[\begin{split} y&=\Big|(\lambda-1)\overrightarrow a+\mu \overrightarrow b+\delta\overrightarrow d\Big|+\Big|\lambda\overrightarrow a+(\mu-1)\overrightarrow b+\delta\overrightarrow d\Big|+\Big|(\lambda+1)\overrightarrow a+(\mu+1)\overrightarrow b+\delta\overrightarrow d\Big|\\
&=\sqrt{(\lambda-1)^2+\mu^2+\delta^2-(\lambda-1)\mu}+\sqrt{\lambda^2+(\mu-1)^2+\delta^2-\lambda(\mu-1)}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad+\sqrt{(\lambda+1)^2+(\mu+1)^2+\delta^2-(\lambda+1)(\mu+1)}\\
&=\sqrt{2-2\lambda+\mu}+\sqrt{2+\lambda-2\mu}+\sqrt{\lambda+\mu+2}\\
&\leqslant \sqrt 3\cdot \sqrt {(2-2\lambda+\mu)+(2+\lambda-2\mu)+(\lambda+\mu+2)}\\
&=3\sqrt 2,\end{split} \]等号当$\lambda=\mu=0$时取得.因此所求的最大值为$3\sqrt 2$.

法二 由柯西不等式,有\[\begin{split} y&=\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow x\Big|+\Big|\overrightarrow b-\overrightarrow x\Big|+\Big|\overrightarrow c-\overrightarrow x\Big|\\
&\leqslant \sqrt 3\cdot \sqrt{\left(\overrightarrow a-\overrightarrow x\right)^2+\left(\overrightarrow b-\overrightarrow x\right)^2+\left(\overrightarrow c-\overrightarrow x\right)^2}\\
&=\sqrt 3\cdot \sqrt{\overrightarrow a^2+\overrightarrow b^2+\overrightarrow c^2+3\overrightarrow x^2-2\overrightarrow x\cdot \left(\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)}\\
&=3\sqrt 2
,\end{split} \]等号当$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow x\Big|=\Big|\overrightarrow b-\overrightarrow x\Big|=\Big|\overrightarrow c-\overrightarrow x\Big|$时取得.事实上,有$\overrightarrow a=-\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)$,于是可得$$\overrightarrow a^2=\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)^2,$$因此$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=-\dfrac 12$,类似的,可得$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=-\dfrac 12.$$因此$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$是共面向量,且两两的夹角均为$120^\circ$.进而取$\overrightarrow x$与$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$均垂直,即可取得等号.因此所求的最大值为$3\sqrt 2$.
屏幕快照 2016-09-06 上午9.42.24


 如果限定所有向量为平面向量,也可对应的两种方法:

法一 此时$\delta=0$,于是$$\overrightarrow x^2=\lambda^2+\mu^2-\lambda\mu=1,$$且$y=\sqrt{2-2\lambda+\mu}+\sqrt{2+\lambda-2\mu}+\sqrt{\lambda+\mu+2}$.不妨设$\lambda,\mu\geqslant 0$,则不难证明$$\sqrt{2-2\lambda+\mu}+\sqrt{2+\lambda-2\mu}\leqslant 2,\sqrt{\lambda+\mu+2}\leqslant 2,$$等号当$\lambda=\mu=1$时同时取得,因此此时所求的最大值为$4$.
 事实上,有$$\sqrt{2-2\lambda+\mu}+\sqrt{2+\lambda-2\mu}=\sqrt{\lambda+\mu+2}.$$

法二 设$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$,$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$,$\overrightarrow c=\overrightarrow {OC}$,$\overrightarrow x=\overrightarrow {OP}$,且不妨设$P$落在劣弧$BC$上(包括端点),那么$$y=|PA|+|PB|+|PC|=2|PA|\leqslant 4,$$等号当$PA$为$\triangle ABC$外接圆的直径,即$\overrightarrow x=-\overrightarrow a$时取得.因此所求的最大值为$4$.
 事实上,有$|PB|+|PC|=|PA|$,由托勒密定理或者平面几何的知识可以证明.

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