每日一题[77]何以解忧？唯有参方

已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)，直线\(y=\dfrac{1}{2}x+1\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，点\(M\)在椭圆上，\(\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}\)，求椭圆方程．

由于离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)，于是\(a^2=4b^2\)，因此可设点\(A\)、\(B\)的坐标分别为\(A\left(2b\cos\alpha,b\sin\alpha\right)\)，\(B\left(2b\cos\beta,b\sin\beta\right)\)．

于是由\(\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}\)可得\[M\left(b\cdot\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right),b\left(\dfrac 12\sin\alpha+\dfrac{\sqrt 3}2\sin\beta\right)\right),\]点\(M\)在椭圆上，于是可得\[\dfrac{\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\sin\alpha+\sqrt 3\sin\beta\right)^2}{4}=1,\]化简得\[\cos\left(\alpha-\beta\right)=0.\]

另一方面，点\(A\)在直线\(y=\dfrac 12x+1\)上，可得\[b\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot2b\cos\alpha+1,\]即\[\dfrac 1b=\sin\alpha-\cos\alpha,\]类似的，有\[\dfrac 1b=\sin\beta-\cos\beta.\]

因此有\[\begin{split}\dfrac{1}{b^2}&=\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)\left(\sin\beta-\cos\beta\right)\\&=\cos\left(\alpha-\beta\right)-\sin\left(\alpha+\beta\right)\\&=-\sin\left(\alpha+\beta\right).\end{split}\]

而同时\[\sin\alpha-\sin\beta=\cos\alpha-\cos\beta,\]和差化积，可得\[\tan{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}=-1,\]代入上式，可得\[b^2=1,\]于是所求的椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{4}+y^2=1.\]