每日一题[627]过三点的圆

已知抛物线$y=x^2+bx+c$与坐标轴交于$A,B,C$三点．求证：$\triangle ABC$的外接圆恒过一定点$P$．

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分析与证明　法一（交点曲线系）
考虑抛物线$F:x^2+bx-y+c=0$与平行直线$G:y(y-c)=0$形成的交点曲线系

$$x^2+bx-y+c+\lambda y(y-c)=0,$$ 即 $$x^2+\lambda y^2+bx-(1+c\lambda)y+c=0,$$ 其中$\lambda$为参数．当$\lambda =1$时，该方程即$\triangle ABC$的外接圆方程 $$x^2+y^2+bx-(1+c)y+c=0,$$ 也即 $$x\cdot b+(1-y)c+x^2+y^2-y=0,$$ 恒过定点$P(0,1)$．

法二（圆幂定理）
设$\triangle ABC$的外接圆交$y$轴于另一点$D$，记$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$，$C(0,c)$，$D(0,y_0)$则根据圆幂定理有

$$\overrightarrow  {OA}\cdot \overrightarrow  {OB}=\overrightarrow  {OC}\cdot \overrightarrow  {OD},$$ 即 $$x_1\cdot x_2=c\cdot y_0,$$ 因此$y_0=1$为定值，也即$\triangle ABC$的外接圆恒过定点$P(0,1)$．