每日一题[614]数形结合

已知函数 $f\left(x\right)=\dfrac{-2^{x}+\sin\theta}{2^{-x}+\cos\theta}\left(0\leqslant x\leqslant 1\right)$ 的最小值为 $g\left(\theta\right)$，则对一切 $\theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$，$g\left(\theta\right)$ 的最大值为______．

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分析与解　根据题意，设$t=-2^{-x}$，则$t\in \left[-1,-\dfrac 12\right]$，于是

$$y=\dfrac{\sin \theta-\left(-\dfrac 1t\right)}{\cos\theta-t},$$ 其几何意义是圆弧$x^2+y^2=1$($x,y\geqslant 0$)上的点$A(\cos\theta,\sin\theta)$与双曲线的一部分即$y=-\dfrac 1x$，其中$x\in\left[-1,-\dfrac12\right]$上的点$B\left(t,-\dfrac 1t\right )$的连线的斜率，如图．
对于任意取定的$\theta\in\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$，$t$变化时，对应点$B$在如图的$B_1(-1,1)$与$B_2\left(-\dfrac 12,2\right )$间的曲线上运动，结合图象知，无论$A$在何处（$\theta$取何值），最小值$g(\theta)$总在$B_2$点处取到．

下面再看$g(\theta)$的最大值：
即当点$A$在圆弧上运动时，$B_2A$的斜率何时取最大值．结合图象知当$AB_2$与圆弧相切时，$g(\theta)$有最大值．
设直线$AB_2$的方程可以写为$y=k\left(x+\dfrac 12\right )+2$，即

$$2kx-2y+(k+4)=0,$$ 则由圆心到直线的距离等于半径得 $$d=\dfrac{|k+4|}{\sqrt{4k^2+4}}=1\Rightarrow k=\dfrac {4\pm 2\sqrt{13}}{3}.$$ 结合图象知，正值舍去，所以$g(\theta)$的最大值为$\dfrac{4-2\sqrt{13}}{3}$．