设$t$是正实数，双曲线$x^2-y^2=t$的右焦点为$F$，过$F$任作一条直线交双曲线的右支于$A,B$两点，设线段$AB$的垂直平分线交$x$轴于点$P$，则$\dfrac{|FP|}{|AB|}$的值为_______．
分析与解 如图：
法一 直角坐标
如左图，不妨设$t=1$，于是$F(\sqrt 2,0)$．设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，线段$AB$的中点$M(x_0,y_0)$，直线$AB$斜率为$k$．由双曲线的第二定义，可得$$|AB|=\sqrt 2\left(x_1-\dfrac{\sqrt 2}2\right)+\sqrt 2\left(x_2-\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\sqrt 2(x_1+x_2-\sqrt 2),$$直线$PM:x-x_0=-k(y-y_0)$，于是$$|FP|=x_0+k{y_0}-\sqrt 2.$$根据双曲线的“垂径定理”，有$\dfrac{y_0}{x_0}\cdot k=1$，于是$k{y_0}=x_0$，进而$$|FP|=2x_0-\sqrt 2=x_1+x_2-\sqrt 2,$$因此所求的比值为$\dfrac{\sqrt 2}2$．
法二 几何图形
如右图，不妨设直线$AB$的倾斜角为锐角$\theta$，且$|AF|>|BF|$，则根据双曲线的第二定义，有$$\dfrac{|FP|}{|AB|}=\dfrac{|MF|}{|AB|\cos\theta}=\dfrac{|AF|-|BF|}{2(|AA_1|-|BB_1|)}=\dfrac{\sqrt 2}2.$$思考与总结 看到焦点与计算弦长，联想第二定义；看到中点，联想“垂径定理”．本题条件中的双曲线可以修改为一般的双曲线，设其离心率为$e$，则$\dfrac{|FP|}{|AB|}$的值为$\dfrac{e}2$．