每日一题[600]焦点弦长

设$t$是正实数，双曲线$x^2-y^2=t$的右焦点为$F$，过$F$任作一条直线交双曲线的右支于$A,B$两点，设线段$AB$的垂直平分线交$x$轴于点$P$，则$\dfrac{|FP|}{|AB|}$的值为_______．

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分析与解　如图：

法一　直角坐标
如左图，不妨设$t=1$，于是$F(\sqrt 2,0)$．设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，线段$AB$的中点$M(x_0,y_0)$，直线$AB$斜率为$k$．由双曲线的第二定义，可得

$$|AB|=\sqrt 2\left(x_1-\dfrac{\sqrt 2}2\right)+\sqrt 2\left(x_2-\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\sqrt 2(x_1+x_2-\sqrt 2),$$ 直线$PM:x-x_0=-k(y-y_0)$，于是 $$|FP|=x_0+k{y_0}-\sqrt 2.$$ 根据双曲线的“垂径定理”，有$\dfrac{y_0}{x_0}\cdot k=1$，于是$k{y_0}=x_0$，进而 $$|FP|=2x_0-\sqrt 2=x_1+x_2-\sqrt 2,$$ 因此所求的比值为$\dfrac{\sqrt 2}2$．

法二　几何图形
如右图，不妨设直线$AB$的倾斜角为锐角$\theta$，且$|AF|>|BF|$，则根据双曲线的第二定义，有

$$\dfrac{|FP|}{|AB|}=\dfrac{|MF|}{|AB|\cos\theta}=\dfrac{|AF|-|BF|}{2(|AA_1|-|BB_1|)}=\dfrac{\sqrt 2}2.$$ 思考与总结　看到焦点与计算弦长，联想第二定义；看到中点，联想“垂径定理”．本题条件中的双曲线可以修改为一般的双曲线，设其离心率为$e$，则$\dfrac{|FP|}{|AB|}$的值为$\dfrac{e}2$．