每日一题[551]偶然与必然

若甲乙对局时，甲赢得单局比赛的概率为$p$($p>0.5$)，求证：在$2n+1$局$n+1$胜(如$5$局$3$胜)制的比赛中，甲最终胜出的概率随着$n$的增大而增大．

分析与证明　设在$2n+1$局$n+1$胜(如$5$局$3$胜)制的比赛中，甲最终胜出的概率为$a_n$，则

$$a_n={\rm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^n+{\rm C}_{2n+1}^{n+2}p^{n+2}(1-p)^{n-1}+\cdots +{\rm C}_{2n+1}^{2n+1}p^{2n+1},$$ 在此基础上，利用全概率公式计算$a_{n+1}$，包含四种情形．

(1) 甲在前$2n+1$局比赛中赢了不足$n$场，则一定无法胜出；

(2) 甲在前$2n+1$局比赛中赢了$n$场，则剩下的两场比赛都赢方能胜出，概率为

$$\begin{split} &\left[{\rm C}_{2n+1}^{n}p^{n}(1-p)^{n+1}\right]\cdot p^2\\=&{\rm C}_{2n+1}^{n}p^{n+2}(1-p)^{n+1}.\end{split}$$

(3) 甲在前$2n+1$局比赛中赢了$n+1$场，则剩下的两场比赛不全输就能胜出，概率为

$$\begin{split} &\left[{\rm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n}\right]\cdot \left[1-(1-p)^2\right]\\=&{\rm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n}-{\rm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+2}.\end{split}$$

(4) 甲在前$2n+1$局比赛中已经赢了超过$n+2$场，则一定胜出，概率为

$${\rm C}_{2n+1}^{n+2}p^{n+2}(1-p)^{n-1}+\cdots +{\rm C}_{2n+1}^{2n+1}p^{2n+1}.$$

这样我们就可以得到

$$\begin{split} &a_{n+1}-a_n\\=&{\rm C}_{2n+1}^{n}p^{n+2}(1-p)^{n+1}-{\rm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+2}\\ =&{\rm C}_{2n+1}^{n}p^{n+1}(1-p)^{n+1}\cdot (2p-1)\\ >&0,\end{split}$$ 也即甲最终胜出的概率随着$n$的增大而增大．

注　乒乓球赛制从$21$球改为$11$球是对中国参赛选手的一种压制，这就是其背后的原因．