每日一题[549]合理转化

已知函数$f(x)=x^2+ax+1$，存在$x_0$使$|f(x_0)|$与$|f(x_0+1)|$均不大于$\dfrac 14$，求实数$a$的取值范围．

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分析与解　题意即在不等式

$$-\dfrac 14\leqslant x^2+ax+1\leqslant \dfrac 14$$ 的解集中存在两个距离为$1$的数．设方程$x^2+ax+1=\dfrac 14$和方程$x^2+ax+1=-\dfrac 14$的判别式分别为$\Delta_1=a^2-3$和$\Delta_2=a^2-5$．

情形一　$\Delta_1\geqslant 0$且$\Delta_2\leqslant 0$．

此时不等式解集的长度为$\sqrt{a^2-3}\geqslant 1$，从而$4\leqslant a^2\leqslant5$．

情形二　$\Delta_2>0$．

此时不等式的解集为两个区间的并集．注意到每个区间的长度均为

$$\dfrac{\sqrt{a^2-3}-\sqrt{a^2-5}}2=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-3}+\sqrt{a^2-5}}<1,$$ 于是问题转化为两个区间内的点之间的距离的最小值$\sqrt{a^2-5}\leqslant 1$，且距离的最大值$\sqrt{a^{2}-3}\geqslant 1$，即$5<a^2\leqslant 6$．

综上所述，实数$a$的取值范围是$[-\sqrt 6,-2]\cup [2,\sqrt 6]$．

总结　问题的关键在于考虑区间的长度问题，从这个角度出发可以有很多形式各异本质相同的解法．更多相关问题见每日一题[412]近零点．