每日一题[533]形体分析与运动

已知$A,B,C$是球$O$的球面上的三点，$\angle AOB=\angle AOC=45^\circ$，若三棱锥$O-ABC$体积的最大值为$\dfrac 23$，则球$O$的表面积为_______．

分析一    不难得知$\triangle AOB$与$\triangle AOC$全等，因此整个图形关于线段$BC$的垂直平分面对称．取$BC$的中点$M$，则 $$V_{O-ABC}=\dfrac 13\cdot S_{\triangle OAM}\cdot BC,$$ 进而选择合适的参数展开计算．

解    设$\angle OAM=\alpha$，$\angle BAM=\beta$，$OA=OB=OC=r$，则根据三射线定理，有 $$\cos\alpha\cdot \cos\beta=\cos\dfrac{3\pi}8,$$ 而 $$\begin{split} V_{O-ABC}&=\dfrac 13\cdot S_{\triangle OAM}\cdot BC \\ &=\dfrac 16\sin\alpha\cdot AO\cdot AM\cdot BC \\ &=\dfrac 43r^3\cdot \cos^2\dfrac{3\pi}8\cdot \sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\beta\\&=\dfrac 43r^3\cdot \cos^2\dfrac{3\pi}8\cdot\sqrt{(1-\cos^2\alpha)\cdot\cos^2\beta\cdot (1-\cos^2\beta)} \\ &=\dfrac 43r^3\cdot \cos^2\dfrac{3\pi}8\cdot\sqrt{\left(\cos^2\beta-\cos^2\dfrac{3\pi}8\right)(1-\cos^2\beta)}\\ &\leqslant \dfrac 43r^3\cdot \cos^2\dfrac{3\pi}8\cdot\dfrac{1-\cos^2\dfrac{3\pi}8}{2}\\ &=\dfrac {1}{12}r^3,\end{split}$$ 其中均值不等式的等号当$\cos 2\beta=\cos^2\dfrac{3\pi}8$时取得．因此不难得到$r=2$，于是球$O$的表面积为$16\pi$．

分析二    如图，根据题意，在变化的过程中，$\triangle AOB$和$\triangle AOC$保持不变，而它们的夹角发生变化，抓住运动中的不变量分析问题．

解    设$\angle BHC$为二面角$B-OA-C$的平面角，记为$\theta$，则 $$V_{O-ABC}=\dfrac 13\cdot S_{\triangle BHC}\cdot OA=\dfrac 1{12}r^3\cdot\sin\theta,$$ 于是当平面$OAC$与平面$OAB$垂直时，三棱锥$O-ABC$的体积最大．因此不难得到$r=2$，于是球$O$的表面积为$16\pi$．