每日一题[528]数列上下界的交叉估计

已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$($n\in\mathcal N^*$)，求$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}$．

分析   可以将递推公式两边平方，以获得对$a_{n+1}^2-a_n^2$的估计，从而完成对$\{a_n\}$的上下界估计．

解    根据已知，有 $$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\dfrac{1}{a_n^2},$$ 于是 $$a_{n+1}^2-{a_n}^2>2,$$ 从而可得 $$a_{n+1}^2>2n+1,$$ 即 $$a_{n+1}>\sqrt{2n+1}.$$

另一方面，由于 $$a_{n+1}^2-a_n^2=2+\dfrac{1}{a_n^2},$$ 于是 $$\begin{split} a_{n+1}^2-a_1^2&=2n+\dfrac{1}{a_1^2}+\dfrac{1}{a_2^2}+\cdots +\dfrac{1}{a_n^2}\\ &<2n+1+\dfrac 13+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}\\ & \leqslant 2n+1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac 1n \\ &<2n+\ln n+1,\end{split}$$ 因此 $$a_{n+1}<\sqrt{2n+\ln n+2}.$$

综上所述，有 $$\sqrt{2n+1}<a_{n+1}<\sqrt{2n+\ln n+2},$$ 进而可得 $$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\sqrt 2.$$