练习题集[57]基础练习

1、在直角三角形$ABC$中，斜边$AB=10$，$AC=6$，$P$是斜边$AB$上一点，$Q$是$BC$边上一点，且$\angle CPQ$为直角，则线段$CQ$长度的最小值是_______．

2、已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_2=2$，且满足 $$S_n+S_{n+1}+S_{n+2}=3n^2+6n+5,$$ 则$S_{11}=$_______．

3、在平面直角坐标系$xOy$中，设二次函数$f(x)=x^2+2x+3m$的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为$C$，则圆$C$经过定点的坐标为_______．

4、设对任意$a\leqslant -1$，$b\leqslant m$，均有$a\cdot 2^b-b-3a\geqslant 0$成立，则实数$m$的最大值_______．

5、已知$C,D$是以$AB$为直径的半圆上的两个动点，若$AB=2$，则$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}$的取值范围是_______．

6、已知$a,b,c\in\mathcal R$，则$\min\left\{a+\sqrt{b-c^2},b+\sqrt{c-a^2},c+\sqrt{a-b^2}\right\}$的最大值为_______．

7、已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的左、右顶点分别为$A,B$，右焦点为$F$．$P$是椭圆$C$上不同于$A,B$的动点，直线$AP$交直线$x=a$于点$D$，求证：以$BD$为直径的圆恒与直线$PF$相切．

参考答案

1、$6$

2、$119$

提示    $S_{11}=(S_{11}-S_8)+(S_8-S_5)+(S_5-S_2)$．

3、$(0,1)$和$(-2,1)$

提示    由交点曲线系可得圆$C:x^2+2x-y+3m+y(y-3m)=0$．

4、$1$

提示    以$a$为主元思考．

5、$\left[-4,\dfrac 12\right]$

6、$\dfrac{1+\sqrt 2}2$

提示    设题中代数式为$m$，则 $$\begin{split} 3m&\leqslant  \sum_{cyc}a+\sum_{cyc}\sqrt{b-c^2}\\ &\leqslant \sum_{cyc}a+\sqrt{3\left(\sum_{cyc}a-\sum_{cyc}a^2\right)}\\ &\leqslant \sum_{cyc}a+\sqrt{3\sum_{cyc}a-\left(\sum_{cyc}a\right)^2}.\end{split}$$ 考虑到 $$x+\sqrt{3x-x^2}=x-\dfrac 32+\sqrt{\dfrac 94-\left(x-\dfrac 32\right)^2}+\dfrac 32\leqslant 2\cdot \sqrt{\dfrac 98}+\dfrac 32=3\cdot\dfrac{1+\sqrt 2}2,$$ 于是原式最大值为$\dfrac{1+\sqrt 2}2$，当$a=b=c=\dfrac{2+\sqrt 2}4$时取得．

7、设$BD$的中点$M(a,m)$，则$D(a,2m)$，进而可得 $$AD:\dfrac xa=\dfrac ym-1,$$ 与椭圆方程联立可得$P\left(\dfrac{a(b^2-m^2)}{m^2+b^2},\dfrac{2mb^2}{m^2+b^2}\right)$．于是 $$\dfrac{\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{FB}|}=\dfrac{(a-c,m)\cdot (a-c,0)}{|a-c|}=a-c,$$ 而 $$\begin{split} \dfrac{\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FP}}{|\overrightarrow{FP}|}&=\dfrac{(a-c,m)\cdot \left(\dfrac{a(b^2-m^2)}{m^2+b^2}-c,\dfrac{2mb^2}{m^2+b^2}\right)}{\left|\left(\dfrac{a(b^2-m^2)}{m^2+b^2}-c,\dfrac{2mb^2}{m^2+b^2}\right)\right|} \\ &=\dfrac{(a^2-c^2)\left[(a-c)^2+m^2\right]}{\sqrt{(a+c)^2\left[(a-c)^2-m^2\right]^2+4m^2(a+c)^2(a-c)^2}}\\ &=a-c,\end{split}$$ 从而$\overrightarrow{FM}$与$\overrightarrow{FB}$和$\overrightarrow{FP}$的夹角相等，命题得证．