每日一题[504]“拱”

已知函数$f(x)=x|x-a|$($a>0$)．

（1）不等式$f(x)\leqslant 1$在$[0,m]$上恒成立，当$m$取得最大值时，求$a$的值；

（2）在（1）的条件下，若对于任意$x\in\mathcal R$，不等式$f(x+t)\geqslant f(x)-t$($t>0$)恒成立，求$t$的取值范围．

解    （1）函数$f(x)$的图象如图所示，“拱形”的高度为$\dfrac{a^2}4$．

当$\dfrac{a^2}{4}>1$时，直线$y=1$穿过“拱形”，于是$m$的最大值为方程 $$-x^2+ax=1$$ 的较小根，为$\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2$，显然有 $$\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2=\dfrac{2}{a+\sqrt{a^2-4}}<1;$$

当$\dfrac{a^2}{4}\leqslant 1$时，直线$y=1$不穿过“拱形”，于是$m$的最大值为方程 $$x^2-ax=1$$ 的较大根，为$\dfrac{a+\sqrt{a^2+4}}2$，有 $$\dfrac{a+\sqrt{a^2+4}}2\leqslant 1+\sqrt 2,$$ 当$a=2$时取得等号．

综上所述，当$a=2$时，$m$取得最大值$1+\sqrt 2$．

（2）相当于将$y=f(x)$的图象沿向量$(-t,t)$平移后得到的图象在原函数图象上方．问题的关键还是在使得“拱形”安全撤离上．

“拱形”的左侧只要稍加平移就能满足条件，因此核心困难在于“拱形”的右侧，单独考虑$x=2-t$处，此时有 $$f(2)\geqslant f(2-t)-t,$$ 即 $$0\geqslant t(2-t)-t,$$ 解得$t\geqslant 1$．

事实上，当$t=1$时，画出函数图象可知“拱形”已经安全撤离．因此接下来我们证明当$t\geqslant 1$时，题中不等式恒成立．

当$x<0$或$x>2$时，由于函数$f(x)$单调递增．

于是当$x>2$或$\begin{cases} x<0,\\x+t\leqslant 0\end{cases}$时，有$f(x+t)>f(x)$；

当$\begin{cases} x<0,\\x+t>0\end{cases}$时，有$f(x+t)>0>f(x)$；

综上知， $$f(x+t)>f(x)>f(x)-t,$$ 不等式成立；

当$0\leqslant x\leqslant 2$时，有 $$f(x+t)+t\geqslant 1\geqslant f(x),$$ 不等式成立．

综上所述，$t$的取值范围是$[1,+\infty)$．