每日一题[387]勘破天机

等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n>0$，且$$S_2\cdot S_3\cdots S_n=n(a_2^2-c)(a_3^2-c)\cdots (a_n^2-c),$$其中$n\geqslant 2$且$n\in\mathcal N$．若$a_n\leqslant \dfrac n2$($n\in\mathcal N^*$)，则实数$c$的取值范围是_______．

正确答案是$\left(0,\dfrac 14\right]$．

解    根据题意，用连乘表示的条件等价于$$S_n=\dfrac{n}{n-1}\cdot (a_n^2-c),$$其中$n\geqslant 3$且$n\in\mathcal N$，也即$$\forall n\geqslant 3\land n\in\mathcal N,(n-1)S_n=n(a_n^2-c).$$

考虑到上述条件中的等式左右两边关于$n$的三次多项式相同，而从左侧可以看出该三次多项式有零点$1$，因此$a_1^2=c$，因此$$\forall n\geqslant 2\land n\in\mathcal N,(n-1)S_n=n(a_n^2-a_1^2),$$即$$\forall n\geqslant 2\land n\in\mathcal N,(n-1)S_n=n(a_n+a_1)(a_n-a_1),$$考虑到$n(a_n+a_1)=2S_n$，因此上述条件即$$\forall n\geqslant 2\land n\in\mathcal N,a_n=a_1+\dfrac{n-1}2,$$即公差为$\dfrac 12$．

根据题中的另外两个条件：$S_n>0$以及$a_n\leqslant \dfrac n2$($n\in\mathcal N^*$)，有$a_1$的取值范围是$\left(0,\dfrac 12\right]$，因此$c$的取值范围即$a_1^2$的取值范围，即$\left(0,\dfrac 14\right]$．