每日一题[345]换元法处理多参数问题

2012年高考数学江苏卷第14题（填空压轴题）：

已知正数$a,b,c$满足：$5c-3a\leqslant b\leqslant 4c-a$，$c\ln b\geqslant a+c\ln c$，则$\dfrac ba$的取值范围是_____．

正确答案是$[\mathrm e,7]$．

解　题目条件中的不等式含有三个参数，其中不等式$5c-3a\leqslant b\leqslant 4c-a$为齐次式，而不等式$c\ln b\geqslant a+c\ln c$可以转化成$\ln\dfrac bc\geqslant \dfrac ac$，于是我们令$x=\dfrac ac,y=\dfrac bc$，将条件转化为 $$\begin{cases} x+y\leqslant 4,\\3x+y\geqslant 5,\\y\geqslant {\mathrm e}^x.\end{cases}$$ 它表示的平面区域如下图：

因为目标函数$\dfrac ba=\dfrac yx$为可行域中一点与原点连线的斜率，所以点$A\left(\dfrac 12,\dfrac 72\right )$对应目标函数的最大值$7$．

下面考虑目标函数的最小值：

容易求出过原点且与$y=\mathrm{e}^x$相切的直线为$y=\mathrm{e}x$，切点坐标为$M(1,\mathrm{e})$，而点$M$在可行域内，且有$\mathrm e^x\geqslant \mathrm {e}x$，故$\dfrac yx$的最小值为$\mathrm e$．从而知所求的取值范围为$[\mathrm e,7]$．

多参数问题具有某种对称性时，常考虑用换元法将题目的条件与结论转化成更容易处理的形式，更多类似问题见每日一题[324]移花接木．