每日一题[334]集合的“操作”

2015高考数学湖北文科第10题（选择压轴题）：

已知集合$A=\left\{\left(x,y\right) \left|\right. x^2+y^2\leqslant 1,x,y\in{\mathcal{Z}}\right\}$，$B=\left\{(x,y) \big||x|\leqslant 2,|y|\leqslant 2,x,y\in{\mathcal{Z}}\right\}$，定义集合$A\oplus B=\left\{\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right) \left|\right. \left(x_1,y_1\right)\in A,\left(x_2,y_2\right)\in B\right\}$，则$A\oplus B$中元素的个数为____．

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正确答案是$45$．

解　集合$A$包含$5$个元素

$$\{(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(0,0)\},$$ 而集合$B$表示一个$5\times 5$的点阵．根据$A\oplus B$的定义可知，如果将$A\ \oplus$理解为某个操作，那么这个操作作用于单个点时，就是将这个点向上、向下、向左、向右平移一个单位以及维持不动后得到$5$个点．于是当$A\oplus$作用于一个点集时，就是将这个点集向上、向下、向左、向右平移一个单位以及维持不动后得到新的点集，如图．

不难得到，新的点集比原来多出$20$个点，因此共有$45$个元素．

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下面我们给出一道练习：

集合$A$及两个集合的$\oplus$定义同上，如果集合$C=\left\{(x,y) \big||x|+|y|\leqslant 2,x,y\in{\mathcal{Z}}\right\}$，则$A\oplus C$中元素的个数为____．

答案　$25$．

更进一步，可以思考，如果集合$C_n=\left\{(x,y) \big||x|+|y|\leqslant n,x,y\in{\mathcal{Z}}\right\}$，其中$n\in\mathcal{N}^*$，则$A\oplus C_n$中的元素个数为多少？

答案是$2n^2+6n+5$．

相关问题见每日一题[325]平面区域，在那个问题里集合$A,B$是平面区域，不是离散的点集．