每日一题[54] 强势放缩

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$ ，求证： $a_{2015}>63$ ．

首先由初值 $a_1=1$ ，以及迭代函数 $y=x+\dfrac{1}{x}$ 的图象可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 发散．

考虑作差

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{a_{n}},

$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{a_n},$ 然而得到的结果是趋于

0

$0$ 的，这使得我们无法依此去估计

a_{2015}

$a_{2015}$ 的取值下界．

因此，可以尝试放大 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的距离．当然，按比例放大是不行的（比如说两边同时乘以 $10$ 是无效的．事实上，方幂可以有效的将微小的差距扩大，因此两边平方有

a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a_{n}^{2}},

$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2},$ 于是可得

a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} > 2,

$a_{n+1}^2-a_n^2>2,$ 进而有

a_{2015}^{2} > 2 \times 2014 + a_{1}^{2} = 4029,

$a_{2015}^2>2\times 2014+a_1^2=4029,$ 两边开方就能推得欲证结论．

当然，我们也可以将两边立方，但这样会“浪费”很多，最后得到的结果反而不如平方好了．

最后给一个补充练习：

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}$ ，求证： $a_{2015}>18$ ．