每日一题[54] 强势放缩

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：$a_{2015}>63$．

 首先由初值$a_1=1$，以及迭代函数$y=x+\dfrac{1}{x}$的图象可得数列$\left\{a_n\right\}$发散．

考虑作差 $$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{a_n},$$ 然而得到的结果是趋于$0$的，这使得我们无法依此去估计$a_{2015}$的取值下界．

因此，可以尝试放大$a_{n+1}$与$a_n$的距离．当然，按比例放大是不行的（比如说两边同时乘以$10$是无效的．事实上，方幂可以有效的将微小的差距扩大，因此两边平方有 $$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2},$$ 于是可得 $$a_{n+1}^2-a_n^2>2,$$ 进而有 $$a_{2015}^2>2\times 2014+a_1^2=4029,$$ 两边开方就能推得欲证结论．

当然，我们也可以将两边立方，但这样会“浪费”很多，最后得到的结果反而不如平方好了．

最后给一个补充练习：

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}$，求证：$a_{2015}>18$．