每日一题[319]镜中花，水中月

2015年高考数学安徽理科第10题（选择压轴题）

已知函数$f\left(x\right)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)$（$A$，$\omega$，$\varphi$均为正的常数）的最小正周期为${\mathrm \pi}$，当$x=\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}$时，函数$f\left(x\right)$取得最小值，则下列结论正确的是（　　） 
A．$f\left(2\right)<f\left(-2\right)<f\left(0\right)$

B．$f\left(0\right)<f\left(2\right)<f\left(-2\right)$

C．$f\left(-2\right)<f\left(0\right)<f\left(2\right)$

D．$f\left(2\right)<f\left(0\right)<f\left(-2\right)$

正确答案是A．

解　根据已知，我们容易获得一个长度为半周期的单调递增区间$\left[\dfrac{2\pi}3,\dfrac{7\pi}6\right]$．因此可以利用诱导公式将$x=2,-2,0$诱导到这个已知单调性的区间上来．

为了便于诱导，我们可以保留两位小数近似计算，此时单调递增区间为$[2.09,3.66]$，周期为$3.14$，$x=2.09$是一条对称轴．于是 $$f(2)=f(2.18),f(0)=f(3.14),f(-2)=f(1.14)=f(3.04),$$ 从而 $$f(2)<f(-2)<f(0).$$

事实上，函数$f(x)$关于$x=a$对称即当自变量的和为$2a$时，函数值相等．如本题中，由于 $$2+2.18=1.14+3.04=2\times 2.09,$$ 于是 $$f(2)=f(2.18),f(1.14)=f(3.04).$$

注　本题不需要求出$f(x)$的解析式，由周期与最小值点就可以完全确定函数的单调区间，而比较函数值的大小只需要将自变量转换到同一个单调区间内即可．与单调性相关的问题很多时候解析式只是性质的一个载体，透过函数这个镜像看到性质这个本体才是解题的关键．

下面给出一道练习．

2015高考数学全国新课标II文科第12题（选择压轴题）

设函数$f(x)=\ln(1+|x|)-\dfrac{1}{1+x^2}$，则使得$f(x)>f(2x-1)$成立的$x$的取值范围是_____．

答案　$\left(\dfrac 13,1\right)$

分析　$f(x)$是一个典型的偶函数，有 $$f(x)=f(|x|).$$ 容易知道当$x\geqslant 0$时，$f(x)$单调递增．于是不等式$f(x)>f(2x-1)$即 $$|x|>|2x-1|,$$ 也即 $$x^2>(2x-1)^2,$$ 解得 $$\dfrac 13<x<1.$$