每日一题[285] 交点曲线系

2013年北京大学暑期体验营数学试题第3题：

函数$y=x^2+ax+b$的图象与坐标轴交于三个不同的点$A$、$B$、$C$，已知$\triangle ABC$的外心在直线$y=x$上，求$a+b$的值．

正确答案是$-1$．

解    作出三角形$ABC$的外接圆$M$，我们发现$M$实际上是过抛物线与$x$、$y$轴交点的曲线，因此可以尝试用交点曲线系解决问题．

尝试用交点曲线系写方程

事实上，抛物线方程为 $$F:x^2+ax+b-y=0,$$ 而$x$、$y$轴的方程为 $$G:xy=0,$$ 此时我们发现利用常规的交点曲线系$f(x,y)+\lambda g(x,y)=0$得到的方程 $$(x^2+ax+b-y)+\lambda\cdot xy=0$$ 不可能形成圆．

那么问题出在哪里？又该怎样解决呢？

由于圆的方程的特点，我们知道问题出在交叉项$xy$上．因此需要仔细思考交点$C(0,b)$除了用$x=0$描述，是否还有其他方法？

转化思路后调整方程

到这里，答案几乎是显然的，应该采用$y=b$描述，此时可以将交点曲线系写为 $$(x^2+ax+b-y)+\lambda \cdot y(y-b)=0,$$ 当方程表示圆时，$\lambda=1$，于是再由圆心在直线$y=x$上，可得关于$x$、$y$的一次项的系数相同，即 $$a=-1-b,$$ 从而$a+b$的值为$-1$．

另法一    利用圆幂定理

显然圆心的坐标为$M \left( -\dfrac a2,-\dfrac a2\right)$，于是对原点$O$应用圆幂定理有 $$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=OM^2-MC^2,$$ 即 $$b=\left(-\dfrac a2\right)^2+\left(-\dfrac a2\right)^2-\left[\left(-\dfrac a2\right) ^2+ \left( -\dfrac a2-b\right)^2\right],$$ 整理即得 $$a+b=-1.$$

另法二    利用圆的一般方程

设$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$，圆的方程为$x^2+y^2+mx+my+n=0$，而$C(0,b)$，于是 $$\begin{cases} x_1^2+mx_1+n=0,\\x_2^2+mx_2+n=0,\\b^2+mb+n=0, \end{cases}$$ 由于$x_1,x_2$同时是方程 $$x^2+ax+b=0$$ 和方程 $$x^2+mx+n=0$$ 的两个根，于是$m=a$且$n=b$，因此 $$b^2+ab+b=0,$$ 即 $$a+b=-1.$$

注一    本题源自2008年高考江苏卷第18题：

在平面直角坐标系$xOy$中，记二次函数$f(x)=x^2+2x+b$（$x\in\mathcal R$）与坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为$C$．

（1）求实数$b$的取值范围；

（2）求圆$C$的方程；

（3）问圆$C$是否经过定点（其坐标与$b$无关）？证明你的结论．

注二    有关交点曲线系的更多题目可以参考《每日一题[57] 交点曲线系》，以及《每日一题[33] 交点曲线系》．