2015年北京大学博雅计划试题

一、选择题

选择题共5小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．

1、已知$n$为不超过$2015$的正整数且$1^n+2^n+3^n+4^n$的个位数为$0$，则满足条件的正整数$n$的个数为（        ）

A．$1511$

B．$1512$

C．$1513$

D．前三个答案都不对

2、在内切圆半径为$1$的直角三角形$ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，内切圆与$BC$切于$D$，则$A$到$D$的距离$AD$等于（        ）

A．$\sqrt{4+2\sqrt 3}$

B．$\sqrt{3+3\sqrt 3}$

C．$\sqrt {3+4\sqrt 3}$

D．前三个答案都不对

3、正方形$ABCD$内部一点$P$满足$AP:BP:CP=1:2:3$，则$\angle APB$等于（        ）

A．$120^\circ$

B．$135^\circ$

C．$150^\circ$

D．前三个答案都不对

4、满足$\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac{1}{2015}$，$x\leqslant y$的正整数对$(x,y)$的个数为（        ）

A．$12$

B．$15$

C．$18$

D．前三个答案都不对

5、已知$a,b,c\in\mathcal Z$，且$(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c$，则$a+b+c$可能为（        ）

A．$126$

B．$144$

C．$162$

D．前三个答案都不对

二、填空题

填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分．

6、设$\alpha$为复数，$\overline \alpha$表示$\alpha$的共轭，已知$\left|\alpha-\overline \alpha\right|=2\sqrt 3$且$\dfrac{\alpha}{\overline\alpha^2}$为纯虚数，则$|\alpha|$的值为_______．

7、椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的一条切线与$x,y$轴交于$A,B$两点，则三角形$AOB$的面积的最小值为_______．

8、已知$x^2-y^2+6x+4y+5=0$，则$x^2+y^2$的最小值是_______．

9、已知点集$M=\left\{(x,y)\left|\sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\geqslant xy\right.\right\}$，则平面直角坐标系中区域$M$的面积为_______．

10、现要登上$10$级台阶，每次可以登$1$级或$2$级，则不同的登法共有_______种．

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参考答案

一、选择题

1、B．    提示    $n$模$4$余$1,2,3$均可．

2、D．   提示    利用面积确定三边长，答案为$\sqrt{5+2\sqrt 3}$ ．

3、B．    提示    如图旋转．

4、D．    提示    $(x-2015)(y-2015)=2015^2=5^2\cdot 13^2\cdot 31^2$，因此$(x,y)$共有$14$对．

5、C    提示    注意$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$．

二、填空题

6、$2\sqrt 3$或$\sqrt 3$．

提示       根据已知$\left|r\sin\left(\dfrac{k\pi}3+\dfrac{\pi}6\right)\right|=\sqrt 3$，其中$r$为$|\alpha|$，$k\in\mathcal Z$，因此$r=2\sqrt 3$或$r=\sqrt 3$，对应的$\alpha=3+\sqrt 3{\rm i}$或$\alpha=\sqrt 3{\rm i}$．

7、$ab$．    提示    仿射变换．

8、$\dfrac 12$．    提示    注意题中方程为两条互相垂直的直线．

9、$2+\dfrac{\pi}2$    提示    如图．

10、$89$    提示    递推．

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