2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分

注意：所有题目均为单项选择题，共$20$小题．

1．已知函数$f(x)$是连续的偶函数，且当$x>0$时$f(x)$是严格单调函数，则满足$f(x)=f \left(\dfrac{x+3}{x+4}\right)$的所有$x$之和是（　　）

A．$-1$

B．$-3$

C．$-5$

D．$-8$

2．设集合$A=\left\{x\left|\ x=\dfrac{1}{2}k+\dfrac{1}{4},k\in\mathbb{Z}\right.\right\}$，$B=\left\{x\left|\ x=\dfrac{1}{4}k+\dfrac{1}{2},k\in\mathbb{Z}\right.\right\}$，则$A$与$B$的关系是（　　）

A．$A$是$B$ 在有理数集中的补集

B．$A$是$B$的真子集

C．$B$是$A$的真子集

D．以上均不对

3．方程$x^2-(3a+2)x+2a-1=0$的两个实根中一个大于$3$，另一个小于$3$，则$a$的取值范围是（　　）

A．$a>\dfrac{2}{7}$

B．$a>\dfrac{2}{9}$

C．$a<\dfrac{2}{7}$

D．$a<\dfrac{2}{9}$

4．设实数$a,b,c$均不为$0$，且满足$\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a+b}{c}$，则$\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$的值是（　　）

A．$\dfrac{1}{8}$

B．$1$

C．$-1$

D．以上均不对

5．设$\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$，则$\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos{2\alpha}}}=$（　　）

A．$\cos{\dfrac{\alpha}{2}}$

B．$\sin{\dfrac{\alpha}{2}}$

C．$-\cos{\dfrac{\alpha}{2}}$

D．$-\sin{\dfrac{\alpha}{2}}$

6．设一个圆锥的底面积为$10$，它的侧面展开成平面图后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是（　　）

A．$10$

B．$20$

C．$30$

D．$40$

7．设$a \geqslant 1$，且对任意$x\in[1,2]$，不等式$x|x-a|+\dfrac{3}{2}\geqslant a$恒成立，则实数$a$的取值范围是（　　）

A．$\left[1,\dfrac{3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2},+\infty\right)$

B．$\left[1,\dfrac{5}{4}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2},+\infty\right)$

C．$\left[\dfrac{5}{4},\dfrac{3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2},+\infty\right)$

D．以上均不对

8．设$m>0$，$p:\left|1-\dfrac{x-1}{3}\right|\leqslant 2$，$q:x^2-2x+1-m^2\leqslant 0$，若$\neg p$是$\neg q$的必要而不充分条件，则$m$的取值范围是（　　）

A．$[1,+\infty)$

B．$[3,+\infty)$

C．$[6,+\infty)$

D．$[9,+\infty)$

9．设$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$，把复数$z_1=2\sin{\theta}+\mathrm{i}\cos{\theta}$在复平面上对应的向量按顺时针旋转$\dfrac{3\pi}{4}$后得到的复数为$z_2=r \left(\cos{\varphi}+\mathrm{i}\sin{\varphi}\right)$，那么$\tan{\varphi}=$（　　）

A．$\dfrac{2\tan{\theta}+1}{2\tan{\theta}-1}$

B．$\dfrac{2\tan{\theta}-1}{2\tan{\theta}+1}$

C．$\dfrac{1}{2\tan{\theta}+1}$

D．$\dfrac{1}{2\tan{\theta}-1}$

10．函数$f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^2+x+1}$的最大值与最小值的和是（　　）

A．$\dfrac{5}{3}$

B．$\dfrac{2}{3}$

C．$1$

D．$-\dfrac{2}{3}$

11．设$m,n$为任意正整数，函数$f(m,n)$的取值也是正整数，且满足$f(1,1)=1$，$f(m,n+1)=f(m,n)+2$，$f(m+1,1)=2f(m,1)$，则$f(2016,2015)=$（　　）

A．$2^{2015}+2015$

B．$2^{2016}+2016$

C．$2^{2015}+4028$

D．$2^{2016}+4028$

12．设有命题$A,B,C,D,E$，其中$A$是$B$的充分条件，$B$是$C$的充要条件，$\neg A$是$E$的充分条件，$D$是$C$的必要条件，则$D$是$\neg E$的（　　）

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

13．设直角梯形的高为$2$，其两条对角线交点为$P$，以它的两底中点的连线为直径的圆与此梯形的直腰相交于点$E$和$F$，则$P$到$E$和$F$这两点的距离之和为（　　）

A．$\sqrt{2}$

B．$2$

C．$1$

D．以上均不对

14．一种正十二面体的骰子，$12$个表面分别写有$1$到$12$的$12$个数字，则扔一对这样的骰子，可能出现的结果种数是（　　）

A．$144$

B．$132$

C．$72$

D．$78$

15．设实数$x_1 \geqslant x_2 \geqslant \cdots \geqslant x_{2016}>1$，且$x_1+x_2+\cdots+x_{2016}=2018$，则$\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}$与$\dfrac{1}{2015}$的大小关系是（　　）

A．$\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}>\dfrac{1}{2015}$

B．$\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}=\dfrac{1}{2015}$

C．$\ln{\left(x_1\right)}\ln{\left(x_{2016}\right)}<\dfrac{1}{2015}$

D．以上都有可能

16．设角$\alpha=\dfrac{\pi}{7}$，则$\sin^2\alpha+\sin^2{2\alpha}+\sin^2{3\alpha}$的值为（　　）

A．$\dfrac 74$

B．$1$

C．$\dfrac 78$

D．以上均不对

17．已知$x>0$时，不等式$[(a-1)x-1](x^2-ax-1)\geqslant 0$恒成立，则实数$a$的取值范围是（　　）

A．$0\leqslant a\leqslant \dfrac 32$

B．$1\leqslant a\leqslant \dfrac 32$

C．$a=\dfrac 32$

D．不存在这样的$a$

18．已知$\alpha ,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，且$\sin\beta=2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha$，则$\tan\beta$具有（　　）

A．最大值$\sqrt 3$

B．最小值$\sqrt 3$

C．取不到最大或最小值

D．以上均不对

19．设实数$a,b,c$满足$a,b,c\geqslant 1$且$ab\sqrt{c-1}+ac\sqrt{b-1}+bc\sqrt{a-1}=\dfrac 32abc$，则$a,b,c$之间的大小关系是（　　）

A．$a>b>c$

B．$a=b=c$

C．$a<b<c$

D．不能比较大小

20．设三角形$ABC$的中线$AL$与$BM$相交于点$K$，若$K,L,C,M$四点共圆，则$\dfrac{AB}{KC}$的值是（　　）

A．$1$

B．$2$

C．$\sqrt 3$

D．不能确定

 

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参考答案与解析

 

1．D．

根据题意，有$x=\dfrac{x+3}{x+4}$或$x=-\dfrac{x+3}{x+4}$，即$x^2+3x-3=0$，或$x^2+5x+3=0$，于是题中方程的所有解之和为$(-3)+(-5)=-8$．

2．B．

注　此题来源于2002年全国卷的第5题：

设集合$M=\left\{x\left|\ x=\dfrac{1}{2}k+\dfrac{1}{4},k\in\mathbb{Z}\right.\right\}$，$N=\left\{x\left|\ x=\dfrac{1}{4}k+\dfrac{1}{2},k\in\mathbb{Z}\right.\right\}$，则（　　）

A．$M=N$

B．$M\subsetneqq N$

C．$M\supsetneqq N$

D．$M\cap N=\varnothing$

3．A．

设$f(x)=x^2-(3a+2)x+2a-1$，则问题等价于$f(3)<0$，解得$a>\dfrac 27$．

4．D．

设$\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a+b}{c}=k$，则 $$\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\dfrac{1}{k^3}.$$ 若$a-b=0$，则有$a=b=c$，于是$k=2$，所求代数式的值为$\dfrac 18$；
若$a-b\neq 0$，则根据合分比定理，有 $$k=\dfrac{(b+c)-(c+a)}{a-b}=-1,$$ 此时$a+b+c=0$，所求代数式的值为$-1$．

5．C．

显然原式等于$\left|\cos\dfrac{\alpha}2\right|$，而$\dfrac{3\pi}4<\dfrac{\alpha}2<\pi$，于是$\cos\dfrac{\alpha}2<0$．

6．B．

设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$，则有 $$\begin{cases} \pi l=2\pi r,\\ \pi r^2=10,\end{cases}$$ 从而此圆锥的侧面积为 $$\dfrac 12\pi l^2=\dfrac 12\pi \cdot 4r^2=20.$$
7．A．

令$f(x)=x|x-a|+\dfrac{3}{2}$．

情形一　若$1 \leqslant a \leqslant 2$，则 $$f(x)_{\min}=f(a)=\dfrac{3}{2},$$ 故此时$1 \leqslant a \leqslant \dfrac{3}{2}$．

情形二　若$a>2$，则$f(x)=x(a-x)+\dfrac{3}{2}$，此时原问题等价于
$$\begin{cases}f(1)\geqslant a,\\f(2)\geqslant a,\end{cases}$$ 解得$a \geqslant \dfrac{5}{2}$．

综上所述，实数$a$的取值范围是$\left[1,\dfrac{3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2},+\infty\right)$．

8．D．

由题意知$p$是$q$的充分不必要条件．$p:-2\leqslant x\leqslant 10$，设$f(x)=x^2-2x+1-m^2$，则$f(-2)\leqslant 0$，$f(10)\leqslant 0$且$f(-2)$和$f(10)$不同时为$0$，解得$m\geqslant 9$．

9．A．

由题意，设$\arg z=\alpha$，则$\tan{\alpha}=\dfrac{\cos{\theta}}{2\sin{\theta}}$，$\varphi$的终边与$\alpha-\dfrac{3\pi}{4}$的终边重合，所以
$$\tan{\varphi}=\tan{\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{4}\right)}=\dfrac{\tan{\alpha}+1}{1-\tan{\alpha}}=\dfrac{2\tan{\theta}+1}{2\tan{\theta}-1}.$$
10．B．

方法一　根据题意，当$x=-1$时，有$f(x)=1$；当$x\ne -1$时，有 $$f(x)=1-\dfrac{2}{x+1+\dfrac{1}{x+1}-1},$$ 于是$f(x)$的最大值为$\dfrac 53$，最小值为$-1$．

方法二　设$y=\dfrac{x^2-x-1}{x^2+x+1}$，则有 $$(y-1)x^2+(y+1)x+y+1=0,$$ 进而 $$\Delta=(y+1)^2-4(y-1)(y+1)=(y+1)(-3y+5)\geqslant 0,$$ 于是$y$的最大值为$\dfrac 53$，最小值为$-1$．

11．C．

由题意， $$f(2016,2015)=f(2016,1)+2\cdot 2014=f(1,1)\cdot 2^{2015}+4028=2^{2015}+4028.$$

12．B．

注意$\neg E$是$A$的充分条件，于是有$\neg E\Rightarrow A\Rightarrow B\Leftrightarrow C\Rightarrow D$．

13．B．

方法一
如图，直角梯形$ABCD$中，$AB \parallel CD$，$\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$，$AD=2$，$AB=2a$，$CD=2b$．$M,N$分别为线段$AB,CD$的中点，对角线$AC$与$BD$交于点$P$．以$MN$为直径的圆与线段$AD$交于$E,F$两点，与线段$CD$交于$N,G$两点，连接$MG$．延长$FP$，交圆于点$K$，连接$MK$．设直线$ME$与$NF$交于点$Q$，直线$MF$与$NE$交于点$H$，作$QR\perp AD$于$R$．
易知，$M,P,N$三点共线．因为 $$\dfrac{ME}{EQ}\cdot\dfrac{QF}{FN}\cdot\dfrac{NP}{PM}=\dfrac{a}{QR}\cdot\dfrac{QR}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=1,$$ 故直线$MF,NE,QP$交于一点$H$，而$H$是$\triangle QMN$的垂心，所以 $$\angle EFM=\angle ENM=\angle PFH,$$ 因而$\stackrel\frown{ME}=\stackrel\frown{MK}$，进而有$PE=PK$．因为 $$\stackrel\frown{FK}=\stackrel\frown{ME}+\stackrel\frown{MK}+\stackrel\frown{EF}=\stackrel\frown{ME}+\stackrel\frown{EF}+\stackrel\frown{FG}=\stackrel\frown{MG},$$ 所以 $$PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2.$$
方法二
如图，直角梯形$ABCD$中，$AB \parallel CD$，$\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$，$AD=2$．$M,N$分别为线段$AB,CD$的中点，对角线$AC$与$BD$交于点$P$．以$MN$为直径的圆与线段$AD$交于$E,F$两点，与线段$CD$交于$N,G$两点，连接$MG$．延长$FP$，交圆于点$K$，连接$MK$．连接$ME$与$NF$．%设直线$ME$与$NF$交于点$Q$，直线$MF$与$NE$交于点$H$，作$QR\perp AD$于$R$．因为 $$\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{S_{\triangle PME}}{S_{\triangle PNE}}=\dfrac{EM\cdot\sin{\angle MEP}}{EN\cdot\sin{\angle NEP}},$$ 而 $$\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{EM\cdot\sin{\angle MEA}}{EN\cdot\sin{\angle NED}},$$ 所以$\dfrac{\sin{\angle MEP}}{\sin{\angle NEP}}=\dfrac{\sin{\angle MEA}}{\sin{\angle NED}}$．又因为$\angle MEP+\angle NEP=90^\circ$，$\angle MEA+\angle NED=90^\circ$，所以 $$\angle MEP=\angle MEA,\ \angle NEP=\angle NED,$$ 同理， $$\angle NFP=\angle NFD,\ \angle MFP=\angle MFA,$$ 故$\stackrel\frown{ME}=\stackrel\frown{MK}$，进而有$ME=MK$，$PE=PK$．又因为$\stackrel\frown{KF}=\stackrel\frown{MG}$，所以 $$PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2.$$
注　若设点$M,N$是以点$P$为焦点，直线$AD$为准线的双曲线上的两点，则此题相当于证明了双曲线的一条性质：若以双曲线的一条焦点弦$MN$为直径的圆与对应准线相交于两点$E,F$，则焦点$P$到两个交点$E,F$的距离之和等于焦点弦在准线上的投影长．抛物线也有类似的性质．

14．D．

${\rm C}_{12}^{1}+{\rm C}_{12}^{2}=78$．

15．C．

令$t_i=x_i-1>0\left(i=1,2,\cdots,2016\right)$，则
$$\ln{x_1}\ln{x_{2016}}=\ln{\left(1+t_1\right)}\ln{\left(1+t_{2016}\right)}<t_1\cdot t_{2016}\leqslant t_1\cdot\dfrac{2-t_1}{2015}\leqslant \dfrac{1}{2015}.$$
16．A．

由半角公式得 $$\sin^2\alpha+\sin^2{2\alpha}+\sin^2{3\alpha}=\dfrac 32-\dfrac 12(\cos {2\alpha}+\cos{4\alpha}+\cos{6\alpha}),$$ 记$A=\cos {2\alpha}+\cos{4\alpha}+\cos{6\alpha}$，则有 $$2\sin{2\alpha}\cdot A=\sin{4\alpha}+(\sin{6\alpha}-\sin{2\alpha})+(\sin{8\alpha}-\sin{4\alpha}).$$ 而$\sin{6\alpha}+\sin{8\alpha}=0$，所以 $$2\sin{2\alpha}\cdot A=-\sin{2\alpha}\Rightarrow A=-\dfrac 12,$$ 从而得所求代数式的值为$\dfrac 74$．

17．C．

分别考虑直线$y=(a-1)x-1$与二次函数$y=x^2-ax-1$的草图，因为二次函数一定存在一个正零点与一个负零点，所以直线斜率为正，且直线与$x$轴的交点必与二次函数的正零点重合，即$\dfrac 1{a-1}$是方程$x^2-ax-1=0$的解，代入解得$a=\dfrac 32$．

也可以考虑不等式，显然有$a>1$，题中不等式可以变形为 $$\left(x-\dfrac{1}{a-1}\right)(x-x_1)(x-x_2)\geqslant 0,$$ 其中$x_1,x_2$是方程$x^2-ax-1=0$的两根，因为$x_1x_2<0$，不妨设$x_1<x_2$，就有$x_1<0<x_2$．

而$x>0$，所以$x-x_1>0$恒成立，从而不等式$\left(x-\dfrac{1}{a-1}\right)(x-x_2)\geqslant 0$对$x>0$恒成立，因为$\dfrac 1{a-1}>0,x_2>0$，所以只能有$\dfrac 1{a-1}=x_2$，以下同上．

18．D．

因为 $$\sin\beta=\sin(\alpha+\beta-\alpha)=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha,$$ 所以由题中条件得$\tan(\alpha+\beta)=3\tan\alpha$．从而解得 $$\tan\beta=\dfrac {2\tan\alpha}{3\tan^2\alpha+1}=\dfrac 2{3\tan\alpha+\frac 1{\tan\alpha}}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{3}.$$ 即$\tan\beta$有最大值$\dfrac{\sqrt 3}{3}$，当$\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{6}$时取到．$\tan\beta$取不到最小值，当$\alpha\to\dfrac{\pi}{2}$时，$\tan\beta\to 0$．

19．B．

题中等式可以变形为 $$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}+\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}\leqslant \dfrac 32,$$ 而$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac 14-\left(\dfrac 1c-\dfrac 12\right)^2}\leqslant \dfrac 12$，所以只能有 $$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}=\dfrac 12,$$ 解得$a=b=c=2$．

也可以换元，令 $$x=\sqrt{a-1},y=\sqrt{b-1},z=\sqrt{c-1},$$ 则有$x,y,z\geqslant 0$且题中条件变为 $$\begin{split} \sum_{cyc}{2z(x^2+1)(y^2+1)}=&3(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\\\leqslant&\sum_{cyc}(z^2+1)(x^2+1)(y^2+1)\\=&3(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1).\end{split}$$ 所以等号必须成立，有$x=y=z=1$，从而$a=b=c=2$．

20．C．

连结$CK$并延长，使它交$AB$边于点$D$，连结$LM$，交$CD$于点$E$，如图：由题意知$K$是$\triangle ABC$的重心，所以$D$为$AB$的中点，$E$为$CD$的中点，也为$LM$的中点，且$K$为$CD$的靠近$D$的三等分点．记$KE=m$，则$CD=6m,CE=3m$．

因为$K,L,C,M$四点共圆，由相交弦定理知 $$ME\cdot LE=KE\cdot CE=3m^2,$$ 解得$ME=LE={\sqrt 3}m$．从而有 $$\dfrac{AB}{KC}=\dfrac{2LM}{m+3m}=\dfrac{4\sqrt 3m}{4m}=\sqrt 3.$$

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