一道解析几何试题的背景

这是2014年北京市25校高三联考解析几何试题：

已知椭圆$W:\dfrac {x^2}{2m+10}+\dfrac {y^2}{m^2-2}=1$的左焦点为$F(m,0)$，过点$M(-3,0)$作一条斜率大于$0$的直线$l$与椭圆$W$交于不同的两点$A$、$B$，延长$BF$交椭圆$W$于点$C$．

（1）求椭圆$W$的离心率；

（2）若$\angle MAC=60^\circ$，求直线$l$的斜率．

原文链接：http://lanqi.org/?p=497

---

 

如图，若$M(m,0)$，$N(n,0)$分别是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$长轴所在直线上的两点，且$mn=a^2$，则取椭圆上任意一点（不在长轴上）$A(x_0,y_0)$，设直线$AN$，$AM$与椭圆的另外一个交点分别为$B(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$，则$y_1+y_2=0$．

设$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MC},\overrightarrow{AN}=\mu\overrightarrow{NB}$，则

$$M\left(\dfrac {x_0+\lambda x_1}{1+\lambda},\dfrac {y_0+\lambda y_1}{1+\lambda}\right),N\left(\dfrac {x_0+\mu x_2}{1+\mu},\dfrac {y_0+\mu y_2}{1+\mu}\right).$$

根据已知，有

$$\dfrac {x_0+\lambda x_1}{1+\lambda}=m,y_0+\lambda y_1=0\\\dfrac {x_0+\mu x_2}{1+\mu}=n,y_0+\mu y_2=0.$$

由

$$\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1,\dfrac{(\lambda x)^2}{a^2}+\dfrac{(\lambda y)^2}{b^2}=\lambda^2$$ 两式相减，整理得

$$\dfrac {x_0+\lambda x_1}{1+\lambda}\cdot\dfrac {x_0-\lambda x_1}{1-\lambda}=a^2.$$

类似的，可得

$$\dfrac {x_0+\mu x_2}{1+\mu}\cdot\dfrac {x_0-\mu x_2}{1-\mu}=a^2.$$

结合$mn=a^2$，可得 $\lambda+\mu=0$，从而可得$y_1+y_2=0$．

应用到本试题上，马上就可以得到直线$l$的斜率为$\dfrac{\sqrt 3}3$．