一道解析几何试题的背景

这是2014年西城高三期末试题的解析几何大题：

已知\(A,B\)是抛物线\(W:y=x^2\)上的两个点，\(A(1,1)\)．直线\(AB\)的斜率为\(k\)，\(O\)为坐标原点．

（1）若抛物线\(W\)的焦点在直线\(AB\)下方，求\(k\)的取值范围；

（2）设\(C\)为\(W\)上一点，且\(AB\perp AC\)，过\(B\)，\(C\)分别作\(W\)的切线，记两切线的交点为\(D\)，求\(OD\)长度的最小值．

（1）\(k<\dfrac 34\)；

（2）令\(B(x_1,x_1^2),C(x_2,x_2^2)\)，则由\(\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AC}=0\)得

\[x_1x_2+x_1+x_2+2=0.\]

而\[BD:\dfrac 12(y+x_1^2=x_1x\\CD:\dfrac 12(y+x_2^2)=x_2x\]

于是\[D\left(\dfrac {x_1+x_2}2,x_1x_2\right).\]

因此\[\begin{split}OD^2&=\dfrac 14(x_1+x_2)^2+(x_1x_2)^2\\&=\dfrac 14(x_1x_2+2)^2+(x_1x_2)^2\\&=\dfrac 54(x_1x_2)^2+x_1x_2+1\\&\geqslant \dfrac 45.\end{split}\]

所以\(OD\)长度的最小值为\(\dfrac{2\sqrt 5}5\)．

事实上，\(AB\)过定点\((-1,2)\)，\(D\)在定直线\[\dfrac 12(y+2)=-x,\]即\[2x+y+2=0\]上，于是\(OD\)长度的最小值为\(\dfrac{2\sqrt 5}5\)．