一道解析几何试题的背景

这是2014年西城高三期末试题的解析几何大题：

已知$A,B$是抛物线$W:y=x^2$上的两个点，$A(1,1)$．直线$AB$的斜率为$k$，$O$为坐标原点．

（1）若抛物线$W$的焦点在直线$AB$下方，求$k$的取值范围；

（2）设$C$为$W$上一点，且$AB\perp AC$，过$B$，$C$分别作$W$的切线，记两切线的交点为$D$，求$OD$长度的最小值．

（1）$k<\dfrac 34$；

（2）令$B(x_1,x_1^2),C(x_2,x_2^2)$，则由$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AC}=0$得

$$x_1x_2+x_1+x_2+2=0.$$

而 $$BD:\dfrac 12(y+x_1^2=x_1x\\CD:\dfrac 12(y+x_2^2)=x_2x$$

于是 $$D\left(\dfrac {x_1+x_2}2,x_1x_2\right).$$

因此 $$\begin{split}OD^2&=\dfrac 14(x_1+x_2)^2+(x_1x_2)^2\\&=\dfrac 14(x_1x_2+2)^2+(x_1x_2)^2\\&=\dfrac 54(x_1x_2)^2+x_1x_2+1\\&\geqslant \dfrac 45.\end{split}$$

所以$OD$长度的最小值为$\dfrac{2\sqrt 5}5$．

事实上，$AB$过定点$(-1,2)$，$D$在定直线 $$\dfrac 12(y+2)=-x,$$ 即 $$2x+y+2=0$$ 上，于是$OD$长度的最小值为$\dfrac{2\sqrt 5}5$．