我们知道cosπ7⋅cos2π7⋅cos4π7=sinπ7⋅cosπ7⋅cos2π7⋅cos4π7sinπ7=18sin8π7sinπ7=−18.
那么如何求三角代数式sinπ7⋅sin2π7⋅sin4π7
的值呢?
- 法一
考虑方程sin3θ=sin4θ的根为π7,3π7,5π7,π,9π7,11π7,13π7.
化简上述方程,并去掉根π,有(3−4sin2θ)2=16(1−sin2θ)(−1+2sin2θ)2.
其六根之积为764,因此原式的值为√78.
- 法二
原式的平方为1−cos2π72⋅1−cos4π72⋅1−cos6π72=18[1−(cos2π7+cos4π7+cos6π7)+cos2π7cos4π7+cos4π7cos6π7+cos6π7cos2π7−cos2π7cos4π7cos6π7]=18[1−(−12)+12(cos6π7+cos12π7+cos10π7+cos2π7+cos8π7+cos4π7)−18]=764.
于是原式的值为√78.
- 法三
记zn=1的根分别为 ω,ω2,ω3,⋯,ωn,
则由 zn−1=0
得 (z−1)(zn−1+zn−2+⋯+1)=0,
因此 (z−ω)(z−ω2)⋯(z−ωn−1)=zn−1+zn−2+⋯+1.
令z=1,两边取模,得 n−1∏k=1|(1−cos2kπn)+isin2πn|=n.
于是可得 |n−1∏k=1sinkπn|=n2n−1.
取n=7,即可得原式的值为√78. 想想看,如果令z=−1,两边取模可以得到什么呢?