三角代数式求值

我们知道cosπ7cos2π7cos4π7=sinπ7cosπ7cos2π7cos4π7sinπ7=18sin8π7sinπ7=18.

那么如何求三角代数式sinπ7sin2π7sin4π7
的值呢?

  • 法一

考虑方程sin3θ=sin4θ的根为π7,3π7,5π7,π,9π7,11π7,13π7.

化简上述方程,并去掉根π,有(34sin2θ)2=16(1sin2θ)(1+2sin2θ)2.
其六根之积为764,因此原式的值为78

  • 法二

原式的平方为1cos2π721cos4π721cos6π72=18[1(cos2π7+cos4π7+cos6π7)+cos2π7cos4π7+cos4π7cos6π7+cos6π7cos2π7cos2π7cos4π7cos6π7]=18[1(12)+12(cos6π7+cos12π7+cos10π7+cos2π7+cos8π7+cos4π7)18]=764.

于是原式的值为78

  • 法三

zn=1的根分别为 ω,ω2,ω3,,ωn,

则由 zn1=0
(z1)(zn1+zn2++1)=0,
因此 (zω)(zω2)(zωn1)=zn1+zn2++1.
z=1,两边取模,得 n1k=1|(1cos2kπn)+isin2πn|=n.
于是可得 |n1k=1sinkπn|=n2n1.
n=7,即可得原式的值为78. 想想看,如果令z=1,两边取模可以得到什么呢?

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