圆锥曲线试题一则

这是49周数学组功底测试的圆锥曲线试题：

已知焦点在$x$轴上的双曲线$C$的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点$A(0,\sqrt 2)$为圆心，$1$为半径的圆相切．又知$C$的一个焦点与$A$关于直线$y=x$对称．

（1）求双曲线的方程；

（2）若$Q$是双曲线上的任一点，$F_1$，$F_2$为双曲线的左、右两个焦点，从$F_1$引$\angle F_1QF_2$的平分线的垂线，垂足为$N$，试求点$N$的轨迹方程．

（1）$x^2-y^2=1$；

（2）$x^2+y^2=1(x\neq -\dfrac {\sqrt 2}2)$．

仔细看看这张图，你就可以轻松得到结果了（注意利用极限思想确定图形缺少的点）．