2014年四川卷压轴题

2014年高考四川卷理科数学第21题、文科数学第21题（压轴题）：

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax^2-bx-1$，其中$a,b\in \bf R$，${\rm e}=2.71828\cdots$为自然对数的底．
（1）设$g(x)$是函数$f(x)$的导函数，求函数$g(x)$在区间$[0,1]$上的最小值；
（2）若$f(1)=0$，函数$f(x)$在区间$(0,1)$内有零点，求$a$的取值范围．

解    （1）根据题意，$g(x)={\rm e}^x-2ax-b$，$g'(x)={\rm e}^x-2a$，于是
1° $a\leqslant \dfrac 12$时，函数$g(x)$在区间$[0,1]$上的最小值为$g(0)=1-b$；
2° $\dfrac 12 < a < \dfrac {\rm e}{2}$时，函数$g(x)$在区间$[0,1]$上的最小值为$g(\ln (2a))=2a-2a\ln(2a)-b$；
3° $a\geqslant \dfrac {\rm e}2$时，函数$g(x)$在区间$[0,1]$上的最小值为$g(1)={\rm e}-2a-b$．

（2）一方面，注意到$f(0)=f(1)=0$，因此函数$f(x)$在区间$[0,1]$内有三个零点，因此其导函数$f'(x)$在$(0,1)$上至少有两个零点．
另一方面， 函数$f'^\prime (x)$为单调递增函数，因此$f'(x)$至多有两个零点．
这就说明函数$f'(x)$在$(0,1)$上有两个零点为函数$f(x)$在区间$(0,1)$内有零点的充分必要条件．
如果我们将$f'(x)$在$(0,1)$上的零点看作是指数函数$y={\rm e}^x$的图象与直线$y=2ax+b$的交点，那么条件$f(1)=0$即$a+b={\rm e}-1$ 意味着直线$y=2ax+b$过定点$P\left(\frac 12,{\rm e}-1\right)$．

$P$点在指数函数$y={\rm e}^x$图象的上方，记$A(0,1)$，$B(1,{\rm e})$，则指数函数$y={\rm e}^x$的图象与直线$y=2ax+b$有两个交点等价于直线斜率$2a$在$k_{PA}$和$k_{PB}$之间．不难计算得$a$的取值范围为$({\rm e}-2,1)$．