2014年高考四川卷理科数学第21题、文科数学第21题（压轴题）：
已知函数 \(f(x)={\rm e}^x-ax^2-bx-1\)，其中\(a,b\in \bf R\)，\({\rm e}=2.71828\cdots\)为自然对数的底．
（1）设\(g(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数，求函数\(g(x)\)在区间\([0,1]\)上的最小值；
（2）若\(f(1)=0\)，函数\(f(x)\)在区间\((0,1)\)内有零点，求\(a\)的取值范围．
解 （1）根据题意，\(g(x)={\rm e}^x-2ax-b\)，\(g'(x)={\rm e}^x-2a\)，于是
1° \(a\leqslant \dfrac 12\)时，函数\(g(x)\)在区间\([0,1]\)上的最小值为\(g(0)=1-b\)；
2° \(\dfrac 12 < a < \dfrac {\rm e}{2}\)时，函数\(g(x)\)在区间\([0,1]\)上的最小值为\(g(\ln (2a))=2a-2a\ln(2a)-b\)；
3° \(a\geqslant \dfrac {\rm e}2\)时，函数\(g(x)\)在区间\([0,1]\)上的最小值为\(g(1)={\rm e}-2a-b\)．
（2）一方面，注意到\(f(0)=f(1)=0\)，因此函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)内有三个零点，因此其导函数\(f'(x)\)在\((0,1)\)上至少有两个零点．
另一方面， 函数\(f'^\prime (x)\)为单调递增函数，因此\(f'(x)\)至多有两个零点．
这就说明函数\(f'(x)\)在\((0,1)\)上有两个零点为函数\(f(x)\)在区间\((0,1)\)内有零点的充分必要条件．
如果我们将\(f'(x)\)在\((0,1)\)上的零点看作是指数函数\(y={\rm e}^x\)的图象与直线\(y=2ax+b\)的交点，那么条件\(f(1)=0\)即\(a+b={\rm e}-1\) 意味着直线\(y=2ax+b\)过定点\(P\left(\frac 12,{\rm e}-1\right)\)．
\(P\)点在指数函数\(y={\rm e}^x\)图象的上方，记\(A(0,1)\)，\(B(1,{\rm e})\)，则指数函数\(y={\rm e}^x\)的图象与直线\(y=2ax+b\)有两个交点等价于直线斜率\(2a\)在\(k_{PA}\)和\(k_{PB}\)之间．不难计算得\(a\)的取值范围为\(({\rm e}-2,1)\)．