解析几何试题一则

这是学生朱怡洁问我的一道题目：

设点$A(x_0,y_0)$为椭圆$C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上的一点，$B,C,D$分别为点$A$关于$x$轴，原点，$y$轴对称的点．$E$为椭圆上一点，且使$AE\perp AC$，$BD$与$CE$交于点$G$．

 

(1) 求$G$的轨迹；

(2) 若$\left(a^2+b^2\right)^3=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2$，椭圆上一条弦$A_1B_1$与圆$x^2+y^2=1$相切，求$\angle A_1OB_1$．

---

(1) 注意到点$A$，$C$关于椭圆中心对称，于是

$$k_{EA}\cdot k_{EC} =-\dfrac {b^2}{a^2},$$ 两边同乘以$k_{AC}$，得 $$k_{EC}=\dfrac {b^2}{a^2}\cdot k_{AC}.$$

因此，令$C(a\cos \theta,b\sin \theta)$，则

$$\begin{split}BD:&y=-\dfrac {b\sin \theta}{a\cos \theta}x\\CE:&y=\dfrac{b^3\sin \theta}{a^3\cos \theta}\left(x-a\cos \theta\right)+b\sin \theta\end{split}$$

联立可得

$$x=\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot (-a\cos \theta),y=\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot (b\sin\theta).$$

于是所求轨迹方程为

$$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=\left(\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2.$$

事实上，仿射变换后有个简单的几何解释．

 如图，$CE$和$OC$的斜率之比在仿射变换下不会发生变换，其几何体现为

$$MN:MO=b^2:a^2.$$

于是对三角形$DMO$和截线$CNG$应用梅涅劳斯定理，有

$$\dfrac {DC}{CM}\cdot \dfrac {MN}{NO} \cdot \dfrac {OG}{GD}=1$$

即

$$2\cdot \dfrac {b^2}{a^2-b^2}\cdot \dfrac {OG}{OD-OG}=1.$$

解得

$$\dfrac {OG}{OD}=\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}.$$

因此不难得到所求的轨迹．

(2) 这是一个熟知结论，$\angle A_1OB_1=90^\circ$．