解析几何试题一则

这是学生朱怡洁问我的一道题目：

设点\(A(x_0,y_0)\)为椭圆\(C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)上的一点，\(B,C,D\)分别为点\(A\)关于\(x\)轴，原点，\(y\)轴对称的点．\(E\)为椭圆上一点，且使\(AE\perp AC\)，\(BD\)与\(CE\)交于点\(G\)．

(1) 求\(G\)的轨迹；

(2) 若\(\left(a^2+b^2\right)^3=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\)，椭圆上一条弦\(A_1B_1\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，求\(\angle A_1OB_1\)．

(1) 注意到点\(A\)，\(C\)关于椭圆中心对称，于是\[k_{EA}\cdot k_{EC} =-\dfrac {b^2}{a^2},\]两边同乘以\(k_{AC}\)，得\[k_{EC}=\dfrac {b^2}{a^2}\cdot k_{AC}.\]

因此，令\(C(a\cos \theta,b\sin \theta)\)，则

\[\begin{split}BD:&y=-\dfrac {b\sin \theta}{a\cos \theta}x\\CE:&y=\dfrac{b^3\sin \theta}{a^3\cos \theta}\left(x-a\cos \theta\right)+b\sin \theta\end{split}\]

联立可得\[x=\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot (-a\cos \theta),y=\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot (b\sin\theta).\]

于是所求轨迹方程为\[\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=\left(\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2.\]

事实上，仿射变换后有个简单的几何解释．

 如图，\(CE\)和\(OC\)的斜率之比在仿射变换下不会发生变换，其几何体现为

\[MN:MO=b^2:a^2.\]

于是对三角形\(DMO\)和截线\(CNG\)应用梅涅劳斯定理，有

\[\dfrac {DC}{CM}\cdot \dfrac {MN}{NO} \cdot \dfrac {OG}{GD}=1\]

即\[2\cdot \dfrac {b^2}{a^2-b^2}\cdot \dfrac {OG}{OD-OG}=1.\]

解得\[\dfrac {OG}{OD}=\dfrac {a^2-b^2}{a^2+b^2}.\]

因此不难得到所求的轨迹．

(2) 这是一个熟知结论，\(\angle A_1OB_1=90^\circ\)．