2014年天津高考压轴题

今年天津高考理科数学压轴题（第20题）延续分析风格的导数大题：

设$f(x)=x-a{\mathrm e}^x(a\in \mathcal R)$，$x\in \mathcal R$．已知函数$y=f(x)$有两个零点$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$．

(I) 求$a$的取值范围；

(II) 证明$\dfrac {x_2}{x_1}$随着$a$的减小而增大；

(III) 证明$x_1+x_2$随着$a$的减小而增大．

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(I) 如图，分离变量

$$a=\dfrac x{{\mathrm e}^x}$$ 容易得到$a$的取值范围为$\left(0,\dfrac 1{\mathrm e}\right)$ ．

(II) $x_2$随着$a$的减小而增大，而$x_1$随着$a$的减小而减小，因此结论显然成立．

(III) 一个简单的想法是将$x_1+x_2$表示为$a$的函数，因此需要从

$$x_1-a{\mathrm e}^{x_1}=0,x_2-a{\mathrm e}^{x_2}=0$$ 中解出$x_1,x_2$．而这是困难的．

因此我们采用类似于参数方程的想法，引入一个参数解决问题．

首先作代数变形去指数化：

$$\ln {x_1}=\ln a+x_1,\ln {x_2}=\ln a+x_2.$$

两式相减得

$$\ln \dfrac {x_2}{x_1}=x_2-x_1.$$

令$\dfrac {x_2}{x_1}=t$，其中$t>1$，则可以解得

$$x_1=\dfrac {\ln t}{t-1},x_2=\dfrac {t\ln t}{t-1}.$$

这样我们就完成了$x_1+x_2$的函数化：

$$x_1+x_2=\dfrac {1+t}{1-t}\cdot \ln t.$$

以下略．

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备注：在处理对数函数时，$\dfrac {x_2}{x_1}=t$是非常重要的换元方式．