双曲线的渐近线的“垂径定理”

2012年高考浙江卷理科数学第8题：

如图，$F_1$、$F_2$分别是双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，$B$是虚轴的端点，直线$F_1B$与$C$的两条渐近线分别交于$P$、$Q$两点，线段$PQ$的垂直平分线与$x$轴交于点$M$．若$MF_2=F_1F_2$，则$C$的离心率为_______．

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正确答案是$\dfrac{\sqrt 6}2$．

解    根据题意，设$F_1(-c,0)$，则$M(3c,0)$．直线$PQ$的斜率为

$$\frac{y_B-y_{F_1}}{x_B-x_{F_1}}=\frac bc,$$ 根据一般圆锥曲线的“垂径定理”，直线$ON$斜率满足 $$k_{PQ}\cdot k_{ON}=\frac {b^2}{a^2},$$ 于是直线$ON$的斜率为$\dfrac{bc}{a^2}$．另一方面，直线$MN$的斜率为$-\dfrac cb$．因此设点$N(x,y)$，则 $$\begin{cases}\dfrac y{x+c}=\dfrac bc,\\\dfrac yx=\dfrac{bc}{a^2},\\\dfrac{y}{x-3c}=-\dfrac cb,\end{cases}$$ 从中消去$x$、$y$得 $$\frac{a^2}{bc}-\frac{3b}{c}=-\frac bc,$$ 整理得 $$3c^2=2a^2,$$ 从而离心率 $$e=\frac{\sqrt 6}2.$$