不等式一则

这是WMTC2（青年组）的试题：

已知$a,b,c>0$且$a+b+c=1$，求证： $$2\sqrt 3\leqslant \sqrt {3a^2+1}+\sqrt {3b^2+1}+\sqrt {3c^2+1}<4.$$

第一张图利用勾股定理刻画不等式中的几何意义． 

第二张图利用切线和割线构造了函数不等式 $$\frac {2\sqrt 3}3+\frac {\sqrt 3}2\left(x-\frac 13\right)\leqslant \sqrt {3x^2+1}\leqslant x+1.$$