2014年新课标II卷理科数学压轴题

2014年高考新课标II卷理科数学第21题（压轴题）：

已知函数$f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x$．

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）设$g(x)=f(2x)-4bf(x)$，当$x>0$时，$g(x)>0$，求$b$的最大值；

（3）已知$1.4142<\sqrt 2<1.4143$，估计$\ln 2$的近似值（精确到$0.001$）．

（1）解    由于$f'(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2 \geqslant 0$（等号当且仅当$x=0$时取得），于是函数$f(x)$在定义域上单调递增；

（2）解    $b$的最大值为$2$．证明如下：
根据题意，$g(x)={\rm e}^{2x}-{\rm e}^{-2x}-4x-4b\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x\right)$．由于$g(0)=0$，于是考虑 $$\begin{split} g'(x)&=2{\rm e}^{2x}+2{\rm e}^{-2x}-4-4b\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right)\\&=2\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right)\cdot\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}+2-2b\right)\end{split} .$$
注意到$g'(0)=0$，设 $$h(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}+2-2b$$ 则根据题意，有 $$h(0)=4-2b \geqslant 0,$$ 于是$b \leqslant 2$．（否则令 $$2b-2=m+\dfrac 1m,$$ 其中$m>1$，则在区间$(0,\ln m)$上，$h(x)<0$，进而$g'(x)<0$，于是 $$g(x)<g(0)=0,$$ 矛盾．）

容易证明，$b$可以取得$2$，于是$b$的最大值为$2$．

（3）解    根据（2），有 $$g\left(\ln \sqrt 2\right)=\dfrac 32-2\sqrt 2b+2(2b-1)\ln 2,$$
当$b\leqslant 2$时，$g\left(\ln \sqrt 2\right)>0$，从而 $$\ln 2>\dfrac {8\sqrt 2-3}{12}>0.6928;$$
当$b>2$时，${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}$在区间$\left(2,2b-2\right)$上$g'(x)<0$，注意到当$x=\ln \sqrt 2$时， $${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}=\dfrac {3\sqrt 2}{2},$$ 于是令$2b-2=\dfrac {3\sqrt 2}{2}$，即$b=\dfrac {3\sqrt 2}{4}+1$，则此时 $$g\left(\ln \sqrt 2\right)=-\dfrac 32-2\sqrt 2+(3\sqrt 2+2)\ln 2<0,$$ 从而 $$\ln 2<\dfrac {18+\sqrt2}{28}<0.6934.$$
综上，$\ln 2$的近似值为$0.693$．

事实上，考虑到 $$\ln (1+x)=x-\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {x^3}{3}-\dfrac {x^4}{4}+\dfrac {x^5}5-\cdots \\ \ln (1-x)=-x-\dfrac {x^2}{2}-\dfrac {x^3}{3}-\dfrac {x^4}{4}-\dfrac {x^5}5-\cdots$$ 于是 $$\ln \dfrac {1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^5}5+\cdots \right).$$ 其中，令$x=\dfrac 13$即得$\ln 2$的近似值．