2014年高考新课标II卷理科数学第21题（压轴题）：
已知函数\(f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x\)．
（1）讨论\(f(x)\)的单调性；
（2）设\(g(x)=f(2x)-4bf(x)\)，当\(x>0\)时，\(g(x)>0\)，求\(b\)的最大值；
（3）已知\(1.4142<\sqrt 2<1.4143\)，估计\(\ln 2\)的近似值（精确到\(0.001\)）．
（1）解 由于\(f'(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2 \geqslant 0\)（等号当且仅当\(x=0\)时取得），于是函数\(f(x)\)在定义域上单调递增；
（2）解 \(b\)的最大值为\(2\)．证明如下：
根据题意，\(g(x)={\rm e}^{2x}-{\rm e}^{-2x}-4x-4b\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x\right)\)．由于\(g(0)=0\)，于是考虑\[\begin{split} g'(x)&=2{\rm e}^{2x}+2{\rm e}^{-2x}-4-4b\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right)\\&=2\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right)\cdot\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}+2-2b\right)\end{split} .\]
注意到\(g'(0)=0\)，设$$h(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}+2-2b$$则根据题意，有$$h(0)=4-2b \geqslant 0,$$于是$b \leqslant 2$．（否则令$$2b-2=m+\dfrac 1m,$$其中$m>1$，则在区间$(0,\ln m)$上，$h(x)<0$，进而$g'(x)<0$，于是$$g(x)<g(0)=0,$$矛盾．）
容易证明，$b$可以取得$2$，于是$b$的最大值为$2$．
（3）解 根据（2），有$$g\left(\ln \sqrt 2\right)=\dfrac 32-2\sqrt 2b+2(2b-1)\ln 2,$$
当\(b\leqslant 2\)时，\(g\left(\ln \sqrt 2\right)>0\)，从而$$\ln 2>\dfrac {8\sqrt 2-3}{12}>0.6928;$$
当\(b>2\)时，\({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\)在区间\(\left(2,2b-2\right)\)上\(g'(x)<0\)，注意到当\(x=\ln \sqrt 2\)时，$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}=\dfrac {3\sqrt 2}{2},$$于是令\(2b-2=\dfrac {3\sqrt 2}{2}\)，即\(b=\dfrac {3\sqrt 2}{4}+1\)，则此时\[g\left(\ln \sqrt 2\right)=-\dfrac 32-2\sqrt 2+(3\sqrt 2+2)\ln 2<0,\]从而$$\ln 2<\dfrac {18+\sqrt2}{28}<0.6934.$$
综上，\(\ln 2\)的近似值为\(0.693\)．
事实上，考虑到\[\ln (1+x)=x-\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {x^3}{3}-\dfrac {x^4}{4}+\dfrac {x^5}5-\cdots \\ \ln (1-x)=-x-\dfrac {x^2}{2}-\dfrac {x^3}{3}-\dfrac {x^4}{4}-\dfrac {x^5}5-\cdots\]于是\[\ln \dfrac {1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac {x^3}3+\dfrac {x^5}5+\cdots \right).\]其中，令\(x=\dfrac 13\)即得\(\ln 2\)的近似值．