2015年高考数学新课标II卷(理科)压轴题(第21题):
设函数f(x)=emx+x2−mx.
(1)证明:f(x)在(−∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
(2)若对于任意x1,x2∈[−1,1],都有|f(x1)−f(x2)|⩽,求m的取值范围.
(1)证明 根据题意f'(x)=m{\rm e}^{mx}+2x-m,注意到f'(0)=0,于是再求导f'^\prime (x)=m^2{\rm e}^{mx}+2,由于f'^\prime (x)>0,于是y=f'(x)为单调递增函数,结合f'(0)=0,有f'(x)在(-\infty,0)上恒小于0,在(0,+\infty)上恒大于0.因此原命题得证.
(2)解 根据题意,函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值之差不超过{\rm e}-1.由第1小题可知f(x)在区间[-1,1]上的最小值为f(0)=1,于是问题转化为f(x)在区间[-1,1]上的最大值不超过{\rm e}.
根据第1小题,函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(1)和f(-1)中较大者,因此m的取值范围由\begin{cases}f(-1)\leqslant {\rm e},\\f(1)\leqslant {\rm e},\end{cases}确定,即\begin{cases}{\rm e}^{-m}+1+m\leqslant {\rm e},\\{\rm e}^{m}+1-m\leqslant {\rm e},\end{cases}变形得\begin{cases}{\rm e}^m-m\leqslant {\rm e}-1,\\{\rm e}^{-m}+m\leqslant {\rm e}-1,\end{cases}记函数g(x)={\rm e}^x-x,则g'(x)={\rm e}^x-1,于是g(x)在x<0时单调递减,在x>0时单调递增,如图.
因此不难解得m的取值范围为[-1,1].