2015年高考数学新课标II卷（理科）压轴题

2015年高考数学新课标II卷（理科）压轴题（第21题）：

设函数$f(x)={\rm e}^{mx}+x^2-mx$．

（1）证明：$f(x)$在$(-\infty,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增；

（2）若对于任意$x_1,x_2\in [-1,1]$，都有$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\leqslant {\rm e}-1$，求$m$的取值范围．

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（1）证明    根据题意

$$f'(x)=m{\rm e}^{mx}+2x-m,$$ 注意到$f'(0)=0$，于是再求导 $$f'^\prime (x)=m^2{\rm e}^{mx}+2,$$ 由于$f'^\prime (x)>0$，于是$y=f'(x)$为单调递增函数，结合$f'(0)=0$，有$f'(x)$在$(-\infty,0)$上恒小于$0$，在$(0,+\infty)$上恒大于$0$．因此原命题得证．

（2）解    根据题意，函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值与最小值之差不超过${\rm e}-1$．由第1小题可知$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最小值为$f(0)=1$，于是问题转化为$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值不超过${\rm e}$．

根据第1小题，函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值为$f(1)$和$f(-1)$中较大者，因此$m$的取值范围由

$$\begin{cases}f(-1)\leqslant {\rm e},\\f(1)\leqslant {\rm e},\end{cases}$$ 确定，即 $$\begin{cases}{\rm e}^{-m}+1+m\leqslant {\rm e},\\{\rm e}^{m}+1-m\leqslant {\rm e},\end{cases}$$ 变形得 $$\begin{cases}{\rm e}^m-m\leqslant {\rm e}-1,\\{\rm e}^{-m}+m\leqslant {\rm e}-1,\end{cases}$$ 记函数$g(x)={\rm e}^x-x$，则 $$g'(x)={\rm e}^x-1,$$ 于是$g(x)$在$x<0$时单调递减，在$x>0$时单调递增，如图．

因此不难解得$m$的取值范围为$[-1,1]$．