一道代数不等式的证明

已知$a,b,c\geqslant 0$，$ab+bc+ca=1$，求证：$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geqslant \dfrac 52$．

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证明　消元调整

不妨设$c=\max\{a,b,c\}$，根据条件，有

$$c=\dfrac{1-ab}{a+b},$$ 于是 $$\begin{split}LHS&=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+\dfrac{1-ab}{a+b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1-ab}{a+b}+a}\\ &=\dfrac{1}{a+b}+(a+b)\cdot \left(\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+a^2}\right)\\ &\geqslant \dfrac{1}{a+b}+(a+b)\cdot \left[1+\dfrac{1}{1+(a+b)^2}\right]\\ &=a+b+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+b+\dfrac{1}{a+b}} ,\end{split}$$ 而$a+b+\dfrac{1}{a+b}\geqslant 2$，于是上式右边的最小值为$\dfrac 52$，原不等式得证．

其中用到的不等式

$$\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+a^2}\geqslant 1+\dfrac{1}{1+(a+b)^2}$$ 即 $$(a+b)^2ab\leqslant 2(1-ab),$$ 因为$c\geqslant \dfrac {a+b}2$，所以 $$c=\dfrac{1-ab}{a+b}\geqslant \dfrac{a+b}2,$$ 于是 $$2(1-ab)\geqslant (a+b)^2\geqslant (a+b)^2ab.$$

PQR方法

令$p=a+b+c$，$q=ab+bc+ca$，$r=abc$，则条件即$q=1$，欲证不等式等价于

$$2\sum_{cyc}(a+b)(a+c)\geqslant 5(a+b)(b+c)(c+a),$$ 即 $$5r+2p^2-5p+2\geqslant 0.$$ 若$p>2$，则不等式显然成立；若$p \leqslant 2$，则由舒尔不等式，有 $$p^3+9r\geqslant 4pq,$$ 因此 $$5r+2p^2-5p+2\geqslant 5\cdot \dfrac {4p-p^3}9+2p^2-5p+2=\dfrac 19(2-p)(5p^2-8p+9)\geqslant 0,$$ 不等式也成立．

综上所述，原不等式得证．